Cesar

1 Moto rigido piano.
Si parla di moto rigido piano se le velocita dei punti del c.r. sono tutte parallele ad un piano
sso (detto piano direttore del moto).
Il moto rigido piano e ad esempio quello di una lamina piana che si muove in un piano sso, ma
puo appartenere anche ad un generico corpo tridimensionale in moto attorno ad una asse sso.
Dalla proprieta di rigidita segue che il moto rigido piano e determinato se e noto il moto di un
qualunque piano del c.r. parallelo al piano direttore, cioe nel caso di un corpo con asse sso se e
noto il moto di una sua sezione ortogonale all'asse. Per questo faremo riferimento nel seguito ad
un corpo bidimensionale in moto nel piano XY di un riferimento cartesiano sso (O;X; Y;Z).
Naturalmente, le proprieta del moto rigido piano sono deducibili come caso particolare dall'analisi
generale dell'atto di moto rigido fatta precedentemente, ma qui dedurremo direttamente
i risultati che ci interessano.
Consideriamo un generico punto A del c.r. ed una terna cartesiana ortogonale destra (A; x; y; z)
solidale al corpo, scegliendo x; y nel piano del corpo, per cui gli assi z e Z coincidono e quindi
k(t) = K indipendente dal tempo ; (1.1)
chiamiamo poi angolo di rotazione del c.r. l'angolo che una direzione solidale con il c.r. forma
con una direzione ssa: ad esempio possiamo assumere come angolo di rotazione l'angolo
che
l'asse x forma con l'asse sso X (misurato dall'asse sso X verso l'asse mobile x).
I versori i e j degli assi x e y della terna solidale hanno allora la seguente rappresentazione
cartesiana rispetto alla terna ssa:
i(t) = cos
(t) I + sin
(t) J ; j(t) = ??sin
(t) I + cos
(t) J : (1.2)
Chiamiamo velocita angolare del c.r. il vettore ! cos denito
! =
_ K =
_ k : (1.3)
Pertanto nel moto rigido piano ! ha direzione costante, e misura la variazione nel tempo
dell'angolo di rotazione (1).
Scelto un secondo punto B del c.r., vale allora il seguente fondamentale risultato.
1.1 Teorema. Le velocita vA e vB di una qualunque coppia di punti A e B del c.r. e la
velocita angolare ! sono legati dalla relazione
vB ?? vA = ! ^ (B ?? A) :
Dimostrazione. Dalla rappresentazione cartesiana (1.2) dei versori della terna mobile e dalla
denizione (1.3) di velocita angolare e immediato vericare che
di
dt
= ! ^ i dj
dt
= ! ^ j

1 Moto rigido piano.
Si parla di moto rigido piano se le velocita dei punti del c.r. sono tutte parallele ad un piano
sso (detto piano direttore del moto).
Il moto rigido piano e ad esempio quello di una lamina piana che si muove in un piano sso, ma
puo appartenere anche ad un generico corpo tridimensionale in moto attorno ad una asse sso.
Dalla proprieta di rigidita segue che il moto rigido piano e determinato se e noto il moto di un
qualunque piano del c.r. parallelo al piano direttore, cioe nel caso di un corpo con asse sso se e
noto il moto di una sua sezione ortogonale all'asse. Per questo faremo riferimento nel seguito ad
un corpo bidimensionale in moto nel piano XY di un riferimento cartesiano sso (O;X; Y;Z).
Naturalmente, le proprieta del moto rigido piano sono deducibili come caso particolare dall'analisi
generale dell'atto di moto rigido fatta precedentemente, ma qui dedurremo direttamente
i risultati che ci interessano.
Consideriamo un generico punto A del c.r. ed una terna cartesiana ortogonale destra (A; x; y; z)
solidale al corpo, scegliendo x; y nel piano del corpo, per cui gli assi z e Z coincidono e quindi
k(t) = K indipendente dal tempo ; (1.1)
chiamiamo poi angolo di rotazione del c.r. l'angolo che una direzione solidale con il c.r. forma
con una direzione ssa: ad esempio possiamo assumere come angolo di rotazione l'angolo
che
l'asse x forma con l'asse sso X (misurato dall'asse sso X verso l'asse mobile x).
I versori i e j degli assi x e y della terna solidale hanno allora la seguente rappresentazione
cartesiana rispetto alla terna ssa:
i(t) = cos
(t) I + sin
(t) J ; j(t) = ??sin
(t) I + cos
(t) J : (1.2)
Chiamiamo velocita angolare del c.r. il vettore ! cos denito
! =
_ K =
_ k : (1.3)
Pertanto nel moto rigido piano ! ha direzione costante, e misura la variazione nel tempo
dell'angolo di rotazione (1).
Scelto un secondo punto B del c.r., vale allora il seguente fondamentale risultato.
1.1 Teorema. Le velocita vA e vB di una qualunque coppia di punti A e B del c.r. e la
velocita angolare ! sono legati dalla relazione
vB ?? vA = ! ^ (B ?? A) :

Dimostrazione. Dalla rappresentazione cartesiana (1.2) dei versori della terna mobile e dalla
denizione (1.3) di velocita angolare e immediato vericare che
di
dt
= ! ^ i dj
dt
= ! ^ j

1 Moto rigido piano.
Si parla di moto rigido piano se le velocita dei punti del c.r. sono tutte parallele ad un piano
sso (detto piano direttore del moto).
Il moto rigido piano e ad esempio quello di una lamina piana che si muove in un piano sso, ma
puo appartenere anche ad un generico corpo tridimensionale in moto attorno ad una asse sso.
Dalla proprieta di rigidita segue che il moto rigido piano e determinato se e noto il moto di un
qualunque piano del c.r. parallelo al piano direttore, cioe nel caso di un corpo con asse sso se e
noto il moto di una sua sezione ortogonale all'asse. Per questo faremo riferimento nel seguito ad
un corpo bidimensionale in moto nel piano XY di un riferimento cartesiano sso (O;X; Y;Z).
Naturalmente, le proprieta del moto rigido piano sono deducibili come caso particolare dall'analisi
generale dell'atto di moto rigido fatta precedentemente, ma qui dedurremo direttamente
i risultati che ci interessano.
Consideriamo un generico punto A del c.r. ed una terna cartesiana ortogonale destra (A; x; y; z)
solidale al corpo, scegliendo x; y nel piano del corpo, per cui gli assi z e Z coincidono e quindi
k(t) = K indipendente dal tempo ; (1.1)
chiamiamo poi angolo di rotazione del c.r. l'angolo che una direzione solidale con il c.r. forma
con una direzione ssa: ad esempio possiamo assumere come angolo di rotazione l'angolo
che
l'asse x forma con l'asse sso X (misurato dall'asse sso X verso l'asse mobile x).
I versori i e j degli assi x e y della terna solidale hanno allora la seguente rappresentazione
cartesiana rispetto alla terna ssa:
i(t) = cos
(t) I + sin
(t) J ; j(t) = ??sin
(t) I + cos
(t) J : (1.2)
Chiamiamo velocita angolare del c.r. il vettore ! cos denito
! =
_ K =
_ k : (1.3)
Pertanto nel moto rigido piano ! ha direzione costante, e misura la variazione nel tempo
dell'angolo di rotazione (1).
Scelto un secondo punto B del c.r., vale allora il seguente fondamentale risultato.
1.1 Teorema. Le velocita vA e vB di una qualunque coppia di punti A e B del c.r. e la
velocita angolare ! sono legati dalla relazione
vB ?? vA = ! ^ (B ?? A) :
Dimostrazione. Dalla rappresentazione cartesiana (1.2) dei versori della terna mobile e dalla
denizione (1.3) di velocita angolare e immediato vericare che
di
dt
= ! ^ i dj
dt
= ! ^ j

1 Moto rigido piano.
Si parla di moto rigido piano se le velocita dei punti del c.r. sono tutte parallele ad un piano
sso (detto piano direttore del moto).
Il moto rigido piano e ad esempio quello di una lamina piana che si muove in un piano sso, ma
puo appartenere anche ad un generico corpo tridimensionale in moto attorno ad una asse sso.
Dalla proprieta di rigidita segue che il moto rigido piano e determinato se e noto il moto di un
qualunque piano del c.r. parallelo al piano direttore, cioe nel caso di un corpo con asse sso se e
noto il moto di una sua sezione ortogonale all'asse. Per questo faremo riferimento nel seguito ad
un corpo bidimensionale in moto nel piano XY di un riferimento cartesiano sso (O;X; Y;Z).
Naturalmente, le proprieta del moto rigido piano sono deducibili come caso particolare dall'analisi
generale dell'atto di moto rigido fatta precedentemente, ma qui dedurremo direttamente
i risultati che ci interessano.
Consideriamo un generico punto A del c.r. ed una terna cartesiana ortogonale destra (A; x; y; z)
solidale al corpo, scegliendo x; y nel piano del corpo, per cui gli assi z e Z coincidono e quindi
k(t) = K indipendente dal tempo ; (1.1)
chiamiamo poi angolo di rotazione del c.r. l'angolo che una direzione solidale con il c.r. forma
con una direzione ssa: ad esempio possiamo assumere come angolo di rotazione l'angolo
che
l'asse x forma con l'asse sso X (misurato dall'asse sso X verso l'asse mobile x).
I versori i e j degli assi x e y della terna solidale hanno allora la seguente rappresentazione
cartesiana rispetto alla terna ssa:
i(t) = cos
(t) I + sin
(t) J ; j(t) = ??sin
(t) I + cos
(t) J : (1.2)
Chiamiamo velocita angolare del c.r. il vettore ! cos denito
! =
_ K =
_ k : (1.3)
Pertanto nel moto rigido piano ! ha direzione costante, e misura la variazione nel tempo
dell'angolo di rotazione (1).
Scelto un secondo punto B del c.r., vale allora il seguente fondamentale risultato.

1.1 Teorema. Le velocita vA e vB di una qualunque coppia di punti A e B del c.r. e la
velocita angolare ! sono legati dalla relazione
vB ?? vA = ! ^ (B ?? A) :
Dimostrazione. Dalla rappresentazione cartesiana (1.2) dei versori della terna mobile e dalla
denizione (1.3) di velocita angolare e immediato vericare che
di
dt
= ! ^ i dj
dt
= ! ^ j