Math

Funzioni
Una funzione è, secondo la definizione di La Place, una legge che associa ad ogni valore delle variabili indipendenti x uno ed un solo valore della variabile dipendente y. Tale corrispondenza si può scrivere

·Una funzione si dice INIETTIVA se ad elementi distinti dellinsieme A(cioè x) corrisponde elementi distinti di B( rapporto 1:1).
·Se avviene che tutti gli elementi di B sono immagini di elementi di A, la funzione risulta essere SURIETTIVA. Nel caso contrario, se quindi non tutti gli elementi di B sono immagini di A, la funzione si dice NON SURIETTIVA.
Una funzione che risulta contemporaneamente INIETTIVA e SURIETTIVA si dice BIETTIVA.
Il DOMINIO o CAMPO DESISTENZA di una funzione è linsieme A dei valori reali( che vanno da -? a +?) assunti dalla funzione i cui elementi hanno immagine in B.
Il CODOMINIO di una funzione è linsieme B dei valori reali assunti dalla funzione i cui elementi sono immagini.
L e funzioni algebriche sono quelle che si ottengono dallapplicazione ripetuta delle 4 operazioni compreso lelevamento a potenza. Sono algebriche quelle funzioni nelle quali la relazione esistente tra x e y, ridotte a forma implicita, si presenta come unequazione algebrica di grado qualsiasi nelle 2 variabili x e y.

Le funzioni trascendenti sono quelle che non si svolgono solamente con l'applicazione delle 4 operazioni . Es.
La parabola è una funzione NON iniettiva.
La circonferenza non è una funzione ?semiCRF= funzione non iniettiva.
Liperbole non è una funzione ?semi-iperb. = funzione iniettiva.
Seno e Coseno sono funzioni non iniettive (perché più x possono avere la stessa y).
Il logaritmo è una funzione iniettiva perché è assume una carattere crescente o decrescente che comporta il continuo cambiamento della y.
Intervalli e Intorni
Lintervallo degli estremi a e b è linsieme di tutti i numeri comprese tra a e b.
Se lintervallo è chiuso gli estremi a e b prendono il nome di minimo e massimo dellintervallo.
Se lintervallo è aperto prendono il nome di estremo inferiore e estremo superiore, lestremo inferiore è il numero + grande fuori dallintervallo.



Esistono 2 tipi di intorno:intorno limitato e intorno illimitato.
Intorno limitato ?Prende il nome di intorno x₀ (Ix₀) un qualunque intervallo che al suo interno ha x₀. Se avviene che x₀ sia il punto medio dellintervallo, lintono prende il nome di intorno circolare di raggio .
Intorno illimitato ? tutti i numeri che vanno da un punto a ad infinito
                                   tutti i numeri che vanno da a a - infinito
Calcolare il dominio di una funzione
Il dominio di una funzione è rappresentato dallinsieme di n reali.
Funzione razionale intera->dom/ /
Funzione razionale fratta-> la presenza del denominatore restringe il dominio( le x del denominatore non hanno immagine).
Si annulla il denominatore ponendolo = a 0



Funzione irrazionale intere
2n ??numeri pari

2n-1?numero dispari

Una funzione logaritmo ha senso se è maggiore di 0.
Nelle funzioni esponenziali le limitazioni riguardano soltano l'esponente.
Teorema dellunicità del limite
Se una funzione per x che tende a x₀ o per x che tende ad infinito ammette limite allora questo è unico.
Teorema della permanenza del segno
Se una funzione per x che tende a x₀ o che tende ad infinito ammette un limite l>0 o l<0 allora esiste un intorno di x₀ in cui la funzione ha lo stesso segno del limite.
l>0?f positiva
l<0?f negativa
Teorema del confronto(o dei carabinieri)
Esso permette di calcolare il limite di una funzione confrontando questa con altri 2 oggetti analoghi,che si avvicinano sempre più intorno alla funzione data.
Se abbiamo 3 funzioni f(x),g(x),h(x) definite su un dominio x di R e sia x₀ un punto di accumulazione e inoltre il ==l ed esiste un intorno di x₀ tale che   f(x)?g(x)?h(x) allora il =l
Teorema di Weierstrass
Ogni funzione reale e continua in un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo assoluto.
Una funzione continua assume tutti i valori compresi tra il minimo e li massimo.
Corollario del teorema di Weierstrass
Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.
Teorema di esistenza degli zeri
Se una funzione y=f(x) è continua in un intervallo chiuso e se in quellintervallo il minimo risulta negativo e il massimo positivo allora esiste almeno un punto C in cui risulta f(C)=0.
Sia fC tale che f(a)*f(b)<0 . allora x₀tale che f(x₀)=0
Una funzione continua in un intervallo chiuso si annulla in almeno un punto C appartenente allintervallo.
Asintoti
L'asintoto è una retta che la funzione non tocca mai.
Gli asintoti cono tanti quanti i punti in cui non esiste la funzione.
La derivata seconda
Si calcola a partire dalla derivata 1^ e dal suo studio del segno si ricavano i punti di flesso,la concavità e la convessità. Negli intervalli,infatti,in cui essa è positiva la curva volge concavità verso lalto,al contrario, negli intervalli il cui essa è negativa la concavità volge verso il basso. I punti in cui cambia il segno prendono il nome di punti di flesso.
Teorema di Roll
Il teorema di Roll afferma in un intervallo chiuso derivabile in ogni punto dellintervallo aperto (a,b) e agli estremi assume valori uguali f(a)= f(b) esiste almeno un punto interno ad a;b in cui la derivata si annulla,cioè f(c)=0 . in termini matematici . Il teorema di Roll è un caso particola del teorema di Lagrange ed essendo f(a)= f(b) la tangente nel punto C del grafico della curva sarà parallelo allasse x e coinciderà con il segmento congiungente agli estremi.
Teorema di Lagrande
Il teorema di Lagrange afferma data una funzione y=f(x) continua in un intervallo chiuso e illimitato

e derivabile allinterno dellintervallo allora esiste un punto C tale che f(C) =
Lipotesi del teorema di Lagrange sono uguali a quelle del teorema di Roll eccetto il valore uguale negli estremi ed è uguale anche la tesi nella quale nel punto C ha la tangente parallela alla retta passante per i 2 punti estremi della curva.

I flessi di una funzione
Il punto di flesso è un punto in cui cambia la concavità della curva e un punto in cui la tangente ad essa attraversa la curva, Sia (x0;y0) un punto di flesso per una funzione f(x) se la tangente nel punto è orizzontale,se f(x0)=0, allora si parla di flesso orizzontale. Altrimenti se nel punto x0 la tangente della derivata seconda cambia di segno allora abbiamo un flesso a tangente obliqua. Se la funzione è derivabile 2 volte in tutti i punti vicini a x0 e la derivata prima f(x) tende ad infinito in x0 si parla di tangente verticale e anche in questo caso il punto è di flesso se la derivata seconda cambia segno,si parla di flesso verticale.