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3 Equazioni cardinali.
Questa e una breve sintesi delle equazioni che, secondo l'impostazione della meccanica newtoniana
(o vettoriale), caratterizzano il moto e l'equilibrio del punto materiale, del corpo rigido e
dei sistemi di corpi rigidi liberi o tra loro vincolati (sistemi articolati); tali sistemi si possono
formalmente analizzare come insiemi di punti (schema particellare) o come insiemi di corpi continui.
In e
etti, lo schema formale e concettuale adottato nella formulazione delle equazioni di
seguito descritte viene mantenuto anche per formulare le equazioni di moto e di equilibrio dei
continui deformabili.
Lo scopo di questa sintesi e solo di ssare alcune notazioni e denizioni: si rimanda ai testi per
la loro deduzione a partire dalle leggi di Newton e per una trattazione piu completa.
Rispetto ad un osservatore inerziale, le equazioni di moto e di equilibrio di un punto materiale
P sono date da
F + flujo = ma ; F + flujo = 0 (3.1)
dove m e la massa del punto, F e la forza attiva applicata, flujo la reazione vincolare, cioe la
forza esercitata dal vincolo cui e eventualmente soggetto il punto. Rispetto ad un osservatore non inerziale, la prima equazione continua a valere annoverando tra le forze F anche la forza apparente di trascinamento e la forza di Coriolis, la seconda vale ancora aggiungendo a F la forza apparente di trascinamento (la forza di Coriolis essendo identicamente nulla in condizioni
di equilibrio relativo).
Nota la forza F, le equazioni (3.1) contengono come incognite la posizione P del punto e la reazione vincolare flujo. Se quindi il punto e vincolato (ad una linea o ad una supercie) ed il
problema e quello di determinare il moto o l'equilibrio, si deve pervenire ad equazioni pure (contenenti cioe la sola posizione), eliminando la reazione vincolare flujo.
 Consideriamo un sistema esteso, visto come un insieme di punti materiali Pi (i = 1; 2; :::;N) o come un continuo che occupa un volume tension C R3. Dalle (3.1) scritte per ogni punto Pi o per ogni elemento continuo di massa dm = densidad dtension (densidad densita materiale del sistema) si perviene, tenendo conto del principio di azione e reazione (come conseguenza del quale il risultante ed il
momento risultante delle forze interne in un qualunque sistema meccanico sono identicamente nulli), alle seguenti equazioni, che hanno una validita del tutto generale e che sono dette le
Equazioni cardinali della dinamica e della statica:
dQ/dt= R + R´; R + R´ = 0 (3.2)
dK0/dt+ v0 ^ Q = M0 +M0´ ; M0 +M0´ = 0 : (3.3)
Il punto O e generico; se O e sso, oppure coincide con il centro di massa G, oppure se v0 e parallelo alla velocita vG del centro di massa, si ha v0 ^ Q = 0, per cui la prima delle (3.3) assume la forma semplicata
dK0/dt= M0 +M0´ :
Le (3.2) sono ottenute sommando le equazioni (3.1) scritte per tutti i punti del sistema: sono
dette rispettivamente il teorema della quantita di moto e l'equazione del risultante. In tali
equazioni:

Q e la quantita di moto, denita come la somma vettoriale delle quantita di moto dei singoli punti o come l'integrale della quantita di moto innitesima v dm = densidad v dtension associata ad unelemento di massa dm
Q =SumatoriaNi=1mi vi ; Q =Integralm   v dm = Integral sub tension  v densidad dtension ; (3.4)
R e R´ sono rispettivamente il Risultante delle forze esterne attive e reattive applicate al sistema, cioe delle azioni sui punti del sistema dovuti all'interazione con elementi che non fanno parte del sistema stesso (come gia ricordato, il risultante delle forze interne attive e reattive e identicamente nullo per ogni sistema meccanico, per il principio di azione e reazione); per un sistema di punti si ha
R =
SumatoriaNi=1Fi ; R´ =SumatoriaNi=1 flujoi : (3.5)
Osserviamo inne che la prima equazione (3.2) si puo scrivere in forma equivalente facendo intervenire il centro di massa G del sistema; ricordando infatti che la quantita di moto Q di un generico sistema di massa m e la velocita vG del suo centro di massa G sono legate dalla relazione Q = mvG, derivando rispetto al tempo otteniamo dQ/dt = maG; la prima equazione
cardinale della dinamica si scrive allora nella forma
maG = R + R`
e prende il nome di teorema di moto del centro di massa (o, piu brevemente, teorema di moto del baricentro): si tratta infatti dell'equazione di Newton per un punto materiale di massa m a cui si pensi applicata una forza F = R + R`. In particolare, se le forze esterne applicate ad
un sistema hanno risultante nullo, per il centro di massa vale la legge di inerzia: G si muove di moto rettilineo uniforme (o, equivalentemente, e in quiete in un opportuno sistema di riferiemto inerziale).

Le (3.3) sono ottenute moltiplicando vettorialmente per (Pi - O) l'equazione di moto (o di equilibrio) per il generico punto Pi e sommando le equazioni cosi ottenute su tutti i punti del sistema: esse sono dette rispettivamente il teorema del momento delle quantita di moto e l'equazione del momento. In tali equazioni:
K0 e il momento delle quantita di moto (o momento angolare) rispetto ad un punto O (di velocita v0), denito come la somma vettoriale dei momenti delle quantita di moto dei singoli punti o
come l'integrale del momento della quantita di moto innitesima (P-O)^v dm = (P-O)^densidad v dtension
associata ad un elemento di massa dm
K0 =
SumatoriaNi=1 (Pi - O) ^ mi vi ; K0 =integralm(P - O) ^ v dm =integral simbolo tension sub(P - O) ^ v densidad dtension ; (3.6)
M0 eM ´0 sono rispettivamente il Momento risultante delle forze esterne attive e reattive applicate al sistema, rispetto allo stesso punto O (il momento risultante delle forze interne attive e reattive e identicamente nullo per ogni sistema meccanico, per il principio di azione e reazione); per un sistema di punti si ha:
M0 =SumatoriaNi=1 (Pi - O) ^ Fi;

M00 =SumatoriaNi=1(Pi - O) ^ flujo i : (3.7)