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1 Moto rigido piano.
Si parla di moto rigido piano se le velocita dei punti del c.r. sono tutte parallele ad un piano fisso (detto piano direttore del moto).
Il moto rigido piano e ad esempio quello di una lamina piana che si muove in un piano fisso, ma puo appartenere anche ad un generico corpo tridimensionale in moto attorno ad una asse sso.
Dalla proprieta di rigidita segue che il moto rigido piano e determinato se e noto il moto di un qualunque piano del c.r. parallelo al piano direttore, cioe nel caso di un corpo con asse sso se e noto il moto di una sua sezione ortogonale all'asse. Per questo faremo riferimento nel seguito ad un corpo bidimensionale in moto nel piano XY di un riferimento cartesiano sso (O;X; Y;Z).
Naturalmente, le proprieta del moto rigido piano sono deducibili come caso particolare dall'analisi
generale dell'atto di moto rigido fatta precedentemente, ma qui dedurremo direttamente i risultati che ci interessano.
Consideriamo un generico punto A del c.r. ed una terna cartesiana ortogonale destra (A; x; y; z)
solidale al corpo, scegliendo x; y nel piano del corpo, per cui gli assi z e Z coincidono e quindi
k(t) = K indipendente dal tempo ;
chiamiamo poi angolo di rotazione del c.r. l'angolo che una direzione solidale con il c.r. forma
con una direzione fissa: ad esempio possiamo assumere come angolo di rotazione l'angolo
chel'asse x forma con l'asse sso X (misurato dall'asse sso X verso l'asse mobile x).
I versori i e j degli assi x e y della terna solidale hanno allora la seguente rappresentazione
cartesiana rispetto alla terna fissa:
i(t) = cos (t) I + sin (t) J ;

j(t) = -sin (t) I + cos (t) J :
Chiamiamo velocita angolare del c.r. il vettore ! cossi definito
w=gamma punto.K=gamma punto k
Pertanto nel moto rigido piano ! ha direzione costante, e misura la variazione nel tempo
dell'angolo di rotazione .
Scelto un secondo punto B del c.r., vale allora il seguente fondamentale risultato.
Teorema. Le velocita vA e vB di una qualunque coppia di punti A e B del c.r. e la
velocita angolare w sono legati dalla relazione
vB - vA = w^ (B ^ A) :
Dimostrazione. Dalla rappresentazione cartesiana (1.2) dei versori della terna mobile e dalla
denizione  di velocita angolare e immediato vericare che
di/dt=w^i    dj/dt=w^j

(mentre e ovviamente dk=dt = 0). Consideriamo allora il vettore B - A, che da la posizione di B rispetto ad A; rappresentando tale vettore sulla terna solidale al c.r., di origine A, abbiamo
B - A = ai + bj
dove a e b sono le coordinate di B nella terna solidale, che sono costanti per la proprieta di rigidita . Abbiamo allora che

vB - vA = d(B - O)/dt - d(A-O)/dt= d(B-A)/dt= a.di/dt + b.dj/dt=

=aw^i+bw^j=w^(ai+bj)=w^(B-A)
Pertanto in base al teorema ora dimostrato se sono note la velocita angolare e la velocita di un punto A, la velocita di ogni altro punto del c.r. e data da vB = vA + w^ (B - A) ; (1.6)
viceversa, date le velocita di due punti, la velocita angolare w = wK e data da
w=Ivb-vaI/AB
Analizziamo piu in dettaglio le proprieta dell'atto di moto rigido piano che discendono dalla (1.6)
Ricordiamo anzitutto che l'atto di moto rigido si dice traslatorio se tutti i punti hanno
ugual velocita, rotatorio se esiste almeno un punto con velocita nulla.
In efetti, si puo dimostrare che l'atto di moto rigido piano si riduce sempre ad uno di questi
due casi. Supponiamo infatti che in un dato istante sia w = 0; segue allora dalla (1.6) che tutti i punti hanno uguale velocita e quindi, per quanto detto, l'atto di moto e traslatorio; viceversa, se tutti i punti hanno ugual velocita dalla (1.6) segue che
w^(B-A)=0 per cui, per l'arbitrarieta del vettore (B - A), deve essere w = 0 . In conclusione, abbiamo il
seguente risultato.
1.2 Teorema. L'atto di moto e traslatorio se e solo se w = 0.
Se invece w no igual a 0, l'atto di moto e rotatorio, in forza del seguente risultato.
1.3 Teorema (Eulero). L'atto di moto rigido piano non traslatorio e rotatorio.
Dimostrazione. Supponiamo che l'atto di moto non sia traslatorio, e quindi che w no es = 0; ci chiediamo se esiste un punto C con velocita nulla: per la (1.6), il punto C deve essere soluzione dell'equazione
vA + w^ (C - A) = 0 : (1.7)
Rappresentando i vettori sulla terna ssa abbiamo
vA + w ^ (C - A) = vAx I + vAy J + wK^((XC - XA)I + (YC - YA)J)= (vAx - ((YC - YA)) I + (vAy + ((XC - XA)) J ;