Propagazione delle onde sonore: velocità, onde stazionarie nei tubi, intensità ed effetto Doppler

Introduzione alla Fisica del Suono

La fisica studia il movimento del suono. Il suono è un'onda di pressione che può propagarsi attraverso un mezzo materiale, variando la pressione sonora relativa del mezzo. Il movimento dell'onda, come ogni onda, è caratterizzato da ampiezza, frequenza, lunghezza d'onda e velocità di propagazione. I valori di pressione sonora sono molto piccoli, misurati in decibel (dB).

La frequenza del suono determina una classificazione:

• Suono udibile: 20 Hz - 20.000 Hz
• Infrasuoni: < 20 Hz
• Ultrasuoni: > 20.000 Hz

La velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche meccaniche del mezzo. Tenendo conto di questi valori, possiamo determinare la lunghezza d'onda (λ):

λ = c / f

Velocità delle Onde

Velocità dell'Onda Trasversale (Corda Inestensibile)

Considerando una corda inestensibile, la tensione T₀ è la stessa in tutti i punti. Quando un elemento di lunghezza dx si muove lungo l'asse trasversale y, si propaga un'onda trasversale. Per piccole angolazioni, la forza trasversale dFy su un elemento di corda è data da:

dFy = T₀ * d(dy/dx)

Dividendo per dx, otteniamo:

dFy/dx = T₀ * (d²y/dx²)

Dalla seconda legge di Newton, la forza netta su un elemento di massa μ dx (dove μ è la densità lineare di massa) è:

dFy = (μ dx) * (d²y/dt²)

Quindi:

dFy/dx = μ * (d²y/dt²)

Confrontando le equazioni, otteniamo la velocità di propagazione dell'onda trasversale ct:

ct = √(T₀ / μ)

L'equazione dell'onda trasversale che si propaga sul piano x-y è:

y(x,t) = Y₀ sin[ω(t - x/ct)]

Velocità delle Onde Longitudinali (Asta a Sezione Circolare)

Consideriamo un materiale elastico. Quando l'onda passa, provoca una deformazione elastica, e si applica la legge di Hooke. La tensione (σ = dF_x/A) è proporzionale alla deformazione (ε = ΔL/L₀), secondo la legge di Hooke:

σ = Eε

Ovvero:

(dFx/A) = E * (ΔL/L₀)

Il valore della forza può essere calcolato come:

dFx = AE (ΔL/L₀)

Assumendo che la variazione di lunghezza ΔL sia du (spostamento) e la lunghezza iniziale L₀ sia dx, allora (ΔL/L₀) = (du/dx). Con questa sostituzione, la variazione di forza per unità di lunghezza è:

(dFx/dx) = AE (d²u/dx²)

Tenendo conto della seconda legge di Newton, la forza netta su un elemento di massa (Aρ dx) (dove ρ è la densità del materiale) è:

dFx = (Aρ dx) * (d²u/dt²)

Quindi:

dFx/dx = Aρ * (d²u/dt²)

Confrontando le equazioni, la velocità di propagazione dell'onda longitudinale in un solido cl è:

cl = √(E / ρ)

L'equazione dell'onda è:

u(x,t) = A₀ sin[ω(t - x/cl)]

Nel Fluido

Nel fluido, la velocità dell'onda longitudinale clf è:

clf = √(1 / (κρ))

Dove κ è la compressibilità del fluido e ρ è la densità. L'equazione dell'onda è:

u(x,t) = A₀ sin[ω(t - x/clf)]

Dove A₀ è l'ampiezza dell'onda.

Onde di Pressione Sonora

Le onde sonore corrispondono a onde di pressione. Consideriamo un'onda incidente e un'onda riflessa con la stessa ampiezza. Le equazioni sono:

Δpi = A sin[ω(t - x/c)]

Δpr = A sin[ω(t + x/c)]

Il risultato sarà la somma delle due onde (onda stazionaria di pressione):

Δp = Δpi + Δpr = 2A cos(ωx/c) sin(ωt)

L'ampiezza risultante è:

AR = 2A cos(2πx/λ)

I massimi di pressione (ventri di pressione) si trovano a:

x = k(λ/2)

I nodi di pressione si trovano a:

x = (2k + 1)(λ/4)

Per ottenere lo spostamento delle particelle dell'onda, partiamo dall'equazione dell'onda di pressione:

Δp = -B (du/dx)

Dove B è il modulo di bulk. Quindi:

du/dx = -(1/B) Δp = -(1/B) [2A cos(2πx/λ) sin(2πft)]

Integrando rispetto a x, otteniamo lo spostamento u(x,t):

u(x,t) = -(2Aλ/(2πB)) sin(2πx/λ) sin(2πft)

La velocità di ogni particella vp è:

vp = du/dt = -(2Aω/B) sin(2πx/λ) cos(2πft)

Onde Stazionarie nei Tubi Sonori

Un tubo sonoro è una sorgente sonora capace di produrre suoni utilizzabili musicalmente. Considerando l'asse x lungo il tubo, con la sorgente d'onda all'inizio, si forma un'onda stazionaria. Questa corrisponde alla sovrapposizione di due onde di uguale frequenza che si propagano in direzioni opposte lungo l'asse x:

u1 = A1 sin[2πf(t - x/v)]

u2 = A2 sin[2πf(t + x/v)]

L'onda risultante sarà la somma delle due. Se si assume A1 = A2 = A, lo spostamento risultante è:

u(x,t) = 2A cos(2πfx/c) sin(2πft)

Tubi Aperti

In un tubo aperto, la pressione è nulla agli estremi (ventri di spostamento). Quindi, all'estremità x = La, Δp = 0. Questo implica che sin(2πfLa/c) = 0.

Questo significa che 2πfLa/c = kπ, dove k = 1, 2, 3...

La frequenza fk in funzione della lunghezza del tubo La è:

fk = k * (c / 2La)

La lunghezza del tubo corrisponde a un multiplo intero di mezze lunghezze d'onda:

La = k(λ/2)

Tubi Chiusi

In un tubo chiuso, lo spostamento delle particelle è nullo all'estremità chiusa (nodo di spostamento), quindi u(Lc, t) = 0. Dall'equazione dello spostamento u(x,t) = 2A cos(2πfx/c) sin(2πft), per u(Lc, t) = 0, dobbiamo avere cos(2πfLc/c) = 0.

Questo implica che 2πfLc/c = (2k-1)π/2, dove k = 1, 2, 3...

La frequenza fk in funzione della lunghezza del tubo Lc è:

fk = (2k-1) * (c / 4Lc)

La lunghezza del tubo corrisponde a un multiplo dispari di quarti di lunghezza d'onda:

Lc = (2k-1)(λ/4)

Intensità del Suono

L'intensità del suono (I) è l'energia che attraversa per unità di tempo una superficie unitaria normale alla direzione di propagazione. L'intensità del suono è data da:

I = (Δpmax)² / (2ρc)

Dove Δpmax è l'ampiezza della pressione, ρ è la densità del mezzo e c è la velocità del suono.

L'intensità in decibel (L_I) è:

LI = 10 log10(I/I₀)

Dove I₀ è l'intensità di riferimento (solitamente 10^-12 W/m²).

Effetto Doppler

L'Effetto Doppler è la variazione della frequenza percepita da un osservatore di un'onda quando la sorgente e/o l'osservatore sono in movimento relativo.