Calcolo Break Even Point e Valutazione Investimenti: Ottimizzazione Finanziaria

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Break Even Point Lineare: Calcolo e Applicazioni

Questo documento illustra il calcolo del Break Even Point (BEP) lineare, un punto fondamentale nell'analisi costi-volumi-profitti, e le sue variazioni in base a modifiche dei costi.

Dati Iniziali

  • Costo Fisso (CF) = 24.000 euro
  • Costo Variabile Unitario (CV) = 48 euro
  • Prezzo di Vendita (P) = 64 euro
  • Ricavo Totale (RT) = 64x (dove x è la quantità prodotta e venduta)
  • Spesa aggiuntiva per pubblicità = 6.000 euro

Obiettivi dell'Analisi

  1. La funzione dell'utile e la sua rappresentazione grafica;
  2. La quantità da produrre e vendere per raggiungere il punto di pareggio (Break Even Point) e la percentuale di aumento di questa quantità nel caso in cui le spese fisse aumentino di 4.000 euro;
  3. La capacità produttiva massima, pari a 8.000 unità.

Calcolo del Costo Totale (CT)

Il Costo Totale (CT) è dato dalla somma dei costi fissi e dei costi variabili. In questo caso, i costi fissi includono il CF iniziale e la spesa per la pubblicità.

CT = CF + CV * x + Spese Pubblicità

CT = 24.000 + 48x + 6.000

CT = 48x + 30.000

Calcolo del Punto di Pareggio (BEP) Iniziale

La funzione dell'utile (U) è data da Ricavi Totali (RT) meno Costi Totali (CT). Per il punto di pareggio, l'utile è zero.

U = RT - CT

U = 64x - (48x + 30.000)

Per il BEP, U = 0:

64x - 48x - 30.000 = 0

16x = 30.000

x = 1.875 unità (BEP iniziale)

Calcolo del Punto di Pareggio con Aumento dei Costi Fissi

Se le spese fisse aumentano di 4.000 euro, il nuovo Costo Totale sarà:

CT_nuovo = 48x + 30.000 + 4.000

CT_nuovo = 48x + 34.000

Per il nuovo BEP, U = 0:

U = 64x - (48x + 34.000)

64x - 48x - 34.000 = 0

16x = 34.000

x = 2.125 unità (Nuovo BEP)

Calcolo dell'Aumento Percentuale

Per calcolare l'aumento percentuale della quantità da produrre e vendere:

Aumento Percentuale = ((Nuovo BEP - BEP Iniziale) / BEP Iniziale) * 100

Aumento Percentuale = ((2.125 - 1.875) / 1.875) * 100

Aumento Percentuale = (250 / 1.875) * 100

Aumento Percentuale = 13,33%

Verifica (Esempio)

Per verificare la funzione dell'utile con una quantità di 1.000 unità (non il BEP):

U = 64(1.000) - (48(1.000) + 30.000)

U = 64.000 - (48.000 + 30.000)

U = 64.000 - 78.000

U = -14.000 euro (Perdita)

Nota: Il testo originale menzionava "il risultato nella tabellina", che potrebbe riferirsi a una tabella di valori per la rappresentazione grafica dell'utile.

Break Even Point Quadratico: Analisi dell'Utile Massimo

Questa sezione esplora il concetto di Break Even Point in un contesto quadratico, dove i costi variabili possono avere una componente non lineare, e come determinare il punto di massimo utile.

Dati Iniziali

  • Costo Fisso (CF) = 20.000 euro
  • Costo Variabile Unitario (CV) = 20 euro
  • Spese accessorie variabili: 0,5% del quadrato della quantità prodotta (0,005x²)

Ogni articolo è posto in vendita al Prezzo (P) = 45 euro, quindi il Ricavo Totale (RT) = 45x.

Obiettivi dell'Analisi

Detta x la quantità prodotta, determina:

  1. L'espressione analitica della funzione dell'utile e la sua rappresentazione grafica;
  2. I valori di x per i quali l'azienda non è in perdita (intervallo di non-perdita);
  3. Il valore di x per cui l'utile è massimo.

Calcolo del Costo Totale (CT)

Il Costo Totale (CT) include i costi fissi, i costi variabili lineari e i costi variabili quadratici:

CT = 0,005x² + 20x + 20.000

Funzione dell'Utile (U)

La funzione dell'utile (U) è data da Ricavi Totali (RT) meno Costi Totali (CT):

U = 45x - (0,005x² + 20x + 20.000)

U = -0,005x² + 25x - 20.000

Punti di Pareggio (BEP) e Intervallo di Non-Perdita

Per trovare i punti di pareggio, poniamo U = 0:

-0,005x² + 25x - 20.000 = 0

(Si risolve l'equazione di secondo grado per trovare x1 e x2, che rappresentano i punti di pareggio. L'azienda non è in perdita per i valori di x compresi tra x1 e x2, ovvero x1 ≤ x ≤ x2.)

Valore di x per l'Utile Massimo

Per trovare il valore di x che massimizza l'utile in una funzione quadratica (parabola con concavità verso il basso, dato il coefficiente negativo di x²), si calcola l'ascissa del vertice:

x_max = -b / (2a)

Nel nostro caso, a = -0,005 e b = 25:

x_max = -25 / (2 * -0,005)

x_max = -25 / -0,01

x_max = 2.500 unità

(L'esempio originale indicava 2.000, ma il calcolo corretto è 2.500.)

Calcolo dell'Utile Massimo

Sostituendo x_max = 2.500 nella funzione dell'utile:

U_max = -0,005(2.500)² + 25(2.500) - 20.000

U_max = -0,005(6.250.000) + 62.500 - 20.000

U_max = -31.250 + 62.500 - 20.000

U_max = 11.250 euro

Problemi di Scelta con Effetti Differiti: Valutazione Finanziaria

Questa sezione affronta la valutazione di flussi di cassa che si verificano in momenti diversi nel tempo, utilizzando il concetto di valore attuale per prendere decisioni finanziarie informate.

Criterio di Scelta

Quando si confrontano opzioni con effetti differiti, se il valore attuale netto (VAN) è positivo, l'opzione è conveniente. Tra più opzioni, conviene quella con il valore attuale netto (VAN) più alto (se si tratta di incassi) o più basso (se si tratta di costi).

Frequenze di Capitalizzazione/Attualizzazione

  • Trimestre: 4 periodi all'anno
  • Semestre: 2 periodi all'anno
  • 6 mesi: 0,5 anni (6/12)

Scelta della Formula

Per determinare la formula da utilizzare:

  • Rata (Rendita): Si applica quando i pagamenti sono periodici, di importo costante e con frequenza regolare (es. "per ogni anno", "ciascuna rata", "sono singole").
  • Capitale (Valore Attuale di Singoli Flussi): Si utilizza quando ci sono più flussi di cassa di importo e/o data diversi, o per calcolare il valore attuale di un singolo importo futuro.

Scenario 1: Restituzione con Due Versamenti

Dati:

  • Versamento 1: 14.000 euro fra 6 anni
  • Versamento 2: 24.000 euro fra 10 anni
  • Tasso di interesse (i): 6% annuo (0,06)

Calcolo del Valore Attuale (VA):

VA = 14.000 * (1 + 0,06)⁻⁶ + 24.000 * (1 + 0,06)⁻¹⁰

VA = 14.000 * 0,70496 + 24.000 * 0,55839

VA = 9.869,44 + 13.401,36

VA = 23.270,80 euro

(Il risultato originale 23270.92 è leggermente diverso a causa di arrotondamenti.)

Confronto con Capitale Iniziale (se presente):

Se il capitale iniziale da restituire fosse 20.000 euro, il beneficio netto sarebbe:

Beneficio Netto = 23.270,80 - 20.000 = 3.270,80 euro

Scenario 2: Ricezione di Flussi Misti

Dati:

  • Flusso 1: 2.000 euro fra 6 mesi
  • Rendita: 1.750 euro alla fine di ogni anno per 6 anni
  • Tasso di interesse (i): 6,5% annuo (0,065)

Calcolo del Valore Attuale (VA):

VA = 2.000 * (1 + 0,065)⁻⁰,⁵ + 1.750 * [1 - (1 + 0,065)⁻⁶] / 0,065

VA = 2.000 * 0,9689 + 1.750 * [1 - 0,6853] / 0,065

VA = 1.937,80 + 1.750 * 0,3147 / 0,065

VA = 1.937,80 + 1.750 * 4,8415

VA = 1.937,80 + 8.472,63

VA = 10.410,43 euro

(Il risultato originale 10409.77 è leggermente diverso a causa di arrotondamenti.)

Confronto con Capitale Iniziale (se presente):

Se il capitale iniziale fosse 10.000 euro, il beneficio netto sarebbe:

Beneficio Netto = 10.410,43 - 10.000 = 410,43 euro

Scenario 3: Rendita Trimestrale Posticipata

Dati:

  • Numero rate: 8 trimestrali
  • Importo rata: 2.000 euro
  • Tasso annuo (i): 5% (0,05)

Calcolo del Tasso Trimestrale (i_t):

i_t = (1 + i)^(1/4) - 1 = (1 + 0,05)^(1/4) - 1 = 1,01227 - 1 = 0,01227

Calcolo del Valore Attuale (VA) della Rendita:

VA = Rata * [1 - (1 + i_t)⁻ⁿ] / i_t

VA = 2.000 * [1 - (1 + 0,01227)⁻⁸] / 0,01227

VA = 2.000 * [1 - 0,9050] / 0,01227

VA = 2.000 * 0,0950 / 0,01227

VA = 2.000 * 7,7424

VA = 15.484,80 euro

(Il risultato originale 14875.28 è significativamente diverso a causa di un'errata applicazione del tasso e del numero di periodi nella formula originale.)

Scenario 4: Rendita Semestrale con Variazione di Importo

Dati:

  • Frequenza: Semestrale (2 periodi all'anno)
  • Numero totale rate: 10
  • Prime 6 rate: 15.000 euro ciascuna
  • Successive 4 rate: 8.000 euro ciascuna
  • Tasso annuo (i): 7,5% (0,075)

Calcolo del Tasso Semestrale (i_s):

i_s = (1 + i)^(1/2) - 1 = (1 + 0,075)^(1/2) - 1 = 1,03682 - 1 = 0,03682

Calcolo del Valore Attuale (VA) della Rendita:

Questa è una rendita frazionata. Si calcola il VA delle prime 6 rate e poi il VA delle successive 4 rate, attualizzando queste ultime al momento 0.

VA_prime_6 = 15.000 * [1 - (1 + 0,03682)⁻⁶] / 0,03682

VA_prime_6 = 15.000 * [1 - 0,8069] / 0,03682

VA_prime_6 = 15.000 * 0,1931 / 0,03682

VA_prime_6 = 15.000 * 5,2444

VA_prime_6 = 78.666 euro

VA_successive_4_al_momento_6 = 8.000 * [1 - (1 + 0,03682)⁻⁴] / 0,03682

VA_successive_4_al_momento_6 = 8.000 * [1 - 0,8657] / 0,03682

VA_successive_4_al_momento_6 = 8.000 * 0,1343 / 0,03682

VA_successive_4_al_momento_6 = 8.000 * 3,6475

VA_successive_4_al_momento_6 = 29.180 euro

VA_totale = VA_prime_6 + VA_successive_4_al_momento_6 * (1 + 0,03682)⁻⁶

VA_totale = 78.666 + 29.180 * 0,8069

VA_totale = 78.666 + 23.549,64

VA_totale = 102.215,64 euro

(Il risultato originale 106744.81 è significativamente diverso a causa di un'errata attualizzazione della seconda parte della rendita.)

Confronto con Capitale Iniziale (se presente):

Se il capitale iniziale fosse 100.000 euro, il beneficio netto sarebbe:

Beneficio Netto = 102.215,64 - 100.000 = 2.215,64 euro

Valutazione di Investimenti in Macchinari: Confronto Costi

Questa sezione si concentra sulla valutazione comparativa di investimenti in macchinari, considerando i costi iniziali, i costi operativi annuali e i valori di recupero, per determinare l'opzione più conveniente.

Criterio di Scelta

Quando si valutano investimenti che comportano costi, conviene l'opzione con il Valore Attuale Netto (VAN) dei costi più basso.

I macchinari devono essere sostituiti dopo 12 anni. Si confrontano due opzioni con costi diversi:

  • Macchinario A:
    • Costo iniziale: 40.000 euro
    • Costo annuo di manutenzione: 2.500 euro
    • Valore di recupero (dopo 12 anni): 10% del costo iniziale (4.000 euro)
  • Macchinario B:
    • Costo iniziale: 32.000 euro
    • Costo annuo di manutenzione: 3.000 euro
    • Valore di recupero (dopo 12 anni): 20% del costo iniziale (6.400 euro)

Il tasso annuo di attualizzazione è del 4% (0,04).

Calcolo del Valore Attuale dei Costi (VAC)

Il Valore Attuale dei Costi (VAC) si calcola come:

VAC = Costo Iniziale + Costi Annuali * a_n|i - Valore di Recupero * (1 + i)⁻ⁿ

Dove a_n|i è il fattore di attualizzazione di una rendita posticipata: [1 - (1 + i)⁻ⁿ] / i

Per n=12 anni e i=0,04:

a_12|0.04 = [1 - (1 + 0,04)⁻¹²] / 0,04 = [1 - 0,6246] / 0,04 = 0,3754 / 0,04 = 9,385

Macchinario A:

  • Costo iniziale: 40.000 euro
  • Costo annuo: 2.500 euro
  • Valore di recupero: 4.000 euro

VAC_A = 40.000 + 2.500 * 9,385 - 4.000 * (1 + 0,04)⁻¹²

VAC_A = 40.000 + 23.462,5 - 4.000 * 0,6246

VAC_A = 40.000 + 23.462,5 - 2.498,4

VAC_A = 60.964,1 euro

(Il risultato originale 60964.29 è molto vicino, la differenza è dovuta ad arrotondamenti.)

Macchinario B:

  • Costo iniziale: 32.000 euro
  • Costo annuo: 3.000 euro
  • Valore di recupero: 6.400 euro

VAC_B = 32.000 + 3.000 * 9,385 - 6.400 * (1 + 0,04)⁻¹²

VAC_B = 32.000 + 28.155 - 6.400 * 0,6246

VAC_B = 32.000 + 28.155 - 3.997,44

VAC_B = 56.157,56 euro

(Il risultato originale 56157.8 è molto vicino, la differenza è dovuta ad arrotondamenti.)

Conclusione

Confrontando i Valori Attuali dei Costi:

  • VAC_A = 60.964,1 euro
  • VAC_B = 56.157,56 euro

Poiché il Valore Attuale dei Costi del Macchinario B (56.157,56 euro) è inferiore a quello del Macchinario A (60.964,1 euro), conviene scegliere il Macchinario B.

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