Campi elettrici, condensatori e circuiti: concetti fondamentali ed equazioni

Campi elettrici

Definizione generale

Il campo è l'insieme dei valori che una grandezza scalare o vettoriale assume in una determinata regione di spazio. Si definisce il vettore campo gravitazionale g come:

g = F / m (F = forza di attrazione gravitazionale tra la massa sorgente M e la massa esploratrice m).

Concetto di carica sorgente e carica esploratrice

Supponiamo che una carica positiva Q occupi una determinata posizione nello spazio vuoto. Aggiungiamo nelle vicinanze un'altra carica positiva q, piccola. È evidente che q risente di una modificazione delle condizioni ambientali che Q ha causato: in base alla legge di Coulomb, q viene respinta da Q. Se si posiziona la carica q più vicino a Q, la repulsione aumenta: se la distanza r raddoppia o dimezza, l'intensità della forza varia con il quadrato della distanza.

In questo contesto, q svolge la funzione di carica esploratrice (studia il campo elettrico; è di solito positiva, di intensità piccola e trascurabile rispetto alla sorgente) della regione che circonda la carica sorgente Q (genera il campo elettrico; può essere negativa o positiva).

Vettore campo elettrico

Definiamo il vettore campo elettrico E come:

E = F / q (modulo: E = F / q = K0 · Q / r^2; verso: uguale a quello di F; direzione: la retta che congiunge la sorgente Q con il punto preso in considerazione).

Sulla carica q agisce una forza il cui modulo è dato dalla legge di Coulomb:

F = K0 · Q1 · Q2 / r^2

(K0 è la costante che equivale a 9 · 10^9 N·m^2/C^2). Tale forza è proporzionale al valore della carica esploratrice. Per ottenere una grandezza che dipenda solo dalla carica Q e dalla distanza r, si divide per q e si ottiene il campo elettrico della sorgente:

E = K0 · Q / r^2

Il campo elettrico è l'insieme dei vettori E che consente di determinare la forza F che una carica sorgente Q esercita nella zona che la circonda su una carica esploratrice q.

Rappresentazione del campo elettrico e proprietà delle linee di forza

Non è possibile rappresentare il campo elettrico disegnando tutti i vettori (infinite quantità). Si ricorre quindi a linee particolari, dette linee di forza o linee di campo. Le loro proprietà principali sono:

• In ogni punto la tangente alla linea di forza dà la direzione del vettore E.
• Le linee di forza sono più fitte nei punti in cui il campo elettrico è più intenso (maggiore modulo) e meno fitte dove il campo è più debole.
• In ogni punto del campo passa una sola linea di forza.
• Le linee escono dalle cariche positive ed entrano nelle cariche negative.
• Anche se teoricamente infinite, si disegnano in numero limitato seguendo la convenzione che la loro densità è proporzionale all'intensità del campo.

Campo di una carica puntiforme e di coppie di cariche

Le linee di forza di una carica puntiforme sono disposte radialmente con centro nella carica Q: linee radiali entranti se dirette verso la carica (carica negativa), radiali uscenti se dirette verso l'esterno (carica positiva). Una carica di prova q (positiva) si muove lungo la linea verso il punto in cui il campo decresce. Se Q è positiva, q si allontana; se Q è negativa, q si avvicina.

Anche in situazioni più complesse con due o più cariche puntiformi, le proprietà delle linee di forza si applicano, ma la configurazione complessiva del campo cambia in funzione delle posizioni e dei segni delle cariche.

(Punti equidistanti da una sorgente formano una circonferenza; modulo uguale, direzione e verso possono essere diversi.)

La differenza di potenziale elettrico

Il lavoro compiuto per spostare una carica q da un punto a a un punto b nel campo di una carica Q è:

L_ab = K0 · Q · q · (1 / r_a - 1 / r_b)

Da questa espressione si vede che L_ab dipende dall'intensità della carica Q, dalle posizioni r_a e r_b e anche dal valore della carica esploratrice q. Una grandezza che non dipende dalla carica esploratrice è la differenza di potenziale (o tensione, ΔV, unità Joule/Coulomb = Volt). Questa quantifica il dislivello energetico tra due punti; è il rapporto tra il lavoro necessario per spostare la carica da A a B e la carica stessa:

ΔV = L_ab / q

Quindi, per la carica puntiforme di sorgente Q:

ΔV = K0 · Q · (1 / r_a - 1 / r_b)

I condensatori

I condensatori sono dispositivi in grado di accumulare carica elettrica in funzione della differenza di potenziale applicata. I condensatori piani sono costituiti da due armature piane e parallele, di uguale sezione S e separate da una distanza d, tra le quali può essere presente un dielettrico.

Quando la carica sulle armature aumenta, la differenza di potenziale tra di esse cresce in modo direttamente proporzionale. Ogni condensatore ha una capacità che indica la quantità di carica accumulata per unità di tensione (Coulomb/Volt = Farad):

C = Q / ΔV

La capacità di un condensatore piano si calcola con la formula:

C = ε · S / d = ε_r · ε_0 · S / d

▪ nel vuoto: ε_0 = 8,85 · 10^-12 F/m
▪ ε è la costante dielettrica del mezzo (se è presente un isolante si usa ε = ε_r · ε_0, dove ε_r è la costante dielettrica relativa).

Tra due armature piane e parallele si genera un campo elettrico E uniforme: in tutti i punti il campo ha intensità, direzione e verso costanti; le linee di forza sono parallele ed equidistanti. La forza elettrica compie un lavoro per spostare una carica da un'armatura all'altra. Se q è positiva, si muove dall'armatura A (potenziale maggiore V_a) verso l'armatura B (potenziale minore V_b); se q è negativa, il moto è opposto.

ΔV = E · d (per un condensatore piano) quindi E = ΔV / d.

(Conviene, per aumentare la capacità, agire sulla costante dielettrica relativa piuttosto che sulla superficie.)

Leggi di Ohm e corrente elettrica

La corrente elettrica

Gli atomi dei metalli sono caratterizzati dalla presenza di alcuni elettroni periferici legati debolmente al nucleo: gli elettroni di conduzione. Quando agli estremi di un conduttore si applica una differenza di potenziale, il campo elettrico formato esercita una forza sugli elettroni liberi. Nonostante gli urti che comportano perdite di energia, il campo costringe gli elettroni a seguire una direzione preferenziale. Mantenendo costante la tensione ai capi del conduttore, il moto degli elettroni prosegue regolarmente, generando una corrente elettrica (in un conduttore la corrente è il movimento ordinato degli elettroni). Per convenzione il verso della corrente è spesso indicato opposto al verso di spostamento degli elettroni.

Per quantificare la corrente si introduce l'intensità di corrente (Coulomb/secondo = Ampere):

I = Q / Δt

Questa espressione indica la quantità di carica che passa attraverso una sezione del conduttore nell'unità di tempo. Se intensità e verso rimangono costanti nel tempo si ha una corrente continua.

Il generatore di tensione

Per avere un passaggio continuo di corrente è necessario che ai capi del conduttore la differenza di potenziale (tensione) si mantenga costante. Il generatore di tensione è una sorta di "pompa di elettroni": accumula elettroni al polo negativo e concentra cariche positive al polo positivo. Quando i poli sono collegati ad un conduttore, gli elettroni si muovono dal polo negativo al polo positivo. Un'analogia idraulica utile è il movimento dell'acqua da un punto più alto a uno più basso; la pompa che riporta l'acqua al punto più alto è analoga al lavoro interno del generatore che riporta cariche al polo negativo.

Il circuito elettrico elementare

L'insieme degli elementi attraverso i quali la corrente viene inviata a uno o più utilizzatori è detto circuito elettrico. Un collegamento accidentale a bassa resistenza prende il nome di corto circuito. Il circuito può essere:

• aperto: quando vi sono interruzioni e la corrente non circola;
• chiuso: quando non vi sono interruzioni e la corrente circola.

I componenti di un circuito possono essere connessi in modi diversi:

• Connessione in serie - i componenti sono disposti uno dopo l'altro e sono attraversati dalla stessa corrente. Per misurare l'intensità della corrente si usa l'amperometro (collegato in serie).
• Connessione in parallelo - i componenti hanno gli estremi in comune e sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale. Per misurare la differenza di potenziale si usa il voltmetro (collegato in parallelo).

Nei circuiti a corrente alternata i poli negativo e positivo non sono fissi ma si alternano periodicamente.

Nei circuiti possono essere inseriti elementi chiamati resistori.

Prima legge di Ohm

La resistenza elettrica R è il rapporto tra differenza di potenziale e intensità di corrente:

R = ΔV / I (unità di misura: V/A = Ω).

Manipolando la formula si ottiene la forma più nota della legge di Ohm:

ΔV = R · I

Effetto Joule e legge di Joule

L'effetto Joule è il processo tramite il quale l'energia elettrica si dissipa sotto forma di calore al passaggio della corrente attraverso i conduttori. La legge di Joule esprime la potenza dissipata:

P = R · I^2

Seconda legge di Ohm (dipendenza geometrica e materica)

La resistenza di un conduttore è direttamente proporzionale alla lunghezza l, inversamente proporzionale alla sezione S e dipende anche dal materiale, tramite la resistività ρ:

R = ρ · l / S

Da cui si ricava la resistività:

ρ = R · S / l (unità: Ω·m).

Relazione tra resistività e temperatura

I valori di resistività sono validi per una data temperatura: al variare della temperatura varia anche la resistività. In un conduttore, all'aumentare della temperatura, le vibrazioni degli atomi aumentano, incrementando gli urti degli elettroni e quindi la resistenza. La relazione che lega resistività e temperatura è:

ρ = ρ_0 · (1 + α · Δt)

(dove ρ è la resistività alla temperatura considerata, ρ_0 la resistività alla temperatura di riferimento t_0 = 0 °C, α il coefficiente di temperatura in °C^-1, e Δt la variazione di temperatura rispetto a t_0). Tra ρ e la temperatura esiste una dipendenza approssimativamente lineare in un intervallo limitato di temperatura.

La variazione di resistività Δρ = ρ - ρ_0 è direttamente proporzionale alla variazione di temperatura.

I superconduttori

Esistono materiali che, a temperature molto basse, presentano resistività praticamente nulla. La superconduttività è il fenomeno per il quale, a temperature prossime a circa -270 °C, un conduttore può avere resistività e resistenza molto vicine a zero.

Circuiti elettrici

Il generatore

Un generatore di tensione compie lavoro per separare cariche, fornendo un polo positivo e uno negativo. La grandezza che descrive il lavoro fornito per unità di carica è la forza elettromotrice:

f.e.m. = L / q (Joule/Coulomb = Volt).

▪ La forza elettromotrice di un generatore a circuito aperto coincide con la differenza di potenziale ai suoi poli.
▪ Quando il circuito è chiuso, parte della f.e.m. viene utilizzata per far circolare le cariche e la differenza di potenziale misurata ai capi del generatore risulta minore della f.e.m. a causa delle perdite interne.

Resistenze in serie

Nelle resistenze in serie la stessa corrente le attraversa tutte. La resistenza equivalente è la somma delle resistenze:

R_eq = R_1 + R_2 + ... + R_n

Valgono le relazioni di Ohm locali: ΔV = R · I e I = ΔV / R per ogni tratto con resistenza R.

Resistenze in parallelo

Nelle resistenze in parallelo i rami sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale; la corrente totale si divide tra i rami. Il reciproco della resistenza equivalente è la somma dei reciproci delle resistenze:

1 / R_eq = 1 / R_1 + 1 / R_2 + ... + 1 / R_n

Per due resistenze si ottiene la formula semplificata:

R_eq = R_1 · R_2 / (R_1 + R_2)

Esempi:

• Se R_1 = R_2 = R, allora R_eq = R / 2.
• Per 3 resistenze: R_eq = (R_1 · R_2 · R_3) / (R_2 R_3 + R_1 R_3 + R_1 R_2).
• Se R_1 = R_2 = R_3 = R, allora R_eq = R / 3.

Legge di Kirchhoff dei nodi

La legge di Kirchhoff dei nodi esprime il principio di conservazione della carica elettrica in un punto di connessione tra più rami (nodo). La somma delle correnti entranti in un nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti:

ΣI_entranti = ΣI_uscenti

In un caso semplice si può avere ad esempio: I = I_1 + I_2 + I_3 (somma delle correnti che confluiscono in un nodo).

Condensatori in serie e in parallelo

Per i condensatori valgono regole analoghe ma invertite rispetto alle resistenze:

Nei condensatori in serie il reciproco della capacità equivalente è uguale alla somma dei reciproci delle capacità:

1 / C_eq = 1 / C_1 + 1 / C_2 + ...

Nei condensatori in parallelo la capacità equivalente è la somma delle capacità:

C_eq = C_1 + C_2 + ...

Caratteristiche di strumenti di misura: amperometro e voltmetro

L'amperometro si utilizza nelle connessioni in serie per misurare l'intensità di corrente. Ha una resistenza interna molto bassa per minimizzare l'errore introdotto nell'inserimento in serie: se la resistenza dello strumento è trascurabile rispetto alla resistenza del circuito, l'errore è minimo; altrimenti la misura risulta alterata.

Il voltmetro si utilizza nelle connessioni in parallelo per misurare la differenza di potenziale. Ha una resistenza interna molto elevata in modo che, collegato in parallelo, assorba una corrente trascurabile rispetto al circuito misurato e non ne alteri la tensione.

Nota: tutti i concetti, le formule e le relazioni presenti nel testo sono stati revisionati per correggere errori ortografici e grammaticali, uniformare la notazione e chiarire le frasi mantenendo l'intero contenuto originale.