Compendio di Aritmetica: Potenze, Divisibilità, Frazioni e Calcolo Matematico

Fondamenti di Aritmetica: Potenze, Divisibilità e Frazioni

L'elevamento a potenza è un fattore di moltiplicazione di un numero per se stesso. Per esempio:

• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵ (dove 5 è l'esponente e 2 è la base). L'esponente indica quante volte la base è moltiplicata per se stessa.
• 4³ = 4 × 4 × 4 = 64
• 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8⁵

Ordine delle Operazioni

L'ordine di precedenza nelle espressioni numeriche è:

1. Potenze
2. Moltiplicazioni e Divisioni
3. Addizioni e Sottrazioni

Esempio: 3 × 2⁴ + 2⁵ = 3 × 16 (= 2⁴) + 32 (= 2⁵) = 48 + 32 = 80.

Proprietà delle Potenze

Moltiplicazione di potenze con la stessa base

Si mantiene la base e si sommano gli esponenti.

Esempio: 5² × 5³ = 5⁽²⁺³⁾ = 5⁵

Divisione di potenze con la stessa base

Si mantiene la base e si sottraggono gli esponenti.

Esempio: 2⁶ / 2² = 2^(6-2) = 2⁴

Potenza di Potenza

Si conserva la base e si moltiplicano gli esponenti.

Esempio: (2⁵)³ = 2^{(5 × 3)} = 2¹⁵

Casi Speciali

• Qualsiasi base elevata all'esponente 1 è uguale alla base stessa: 2¹ = 2.
• Qualsiasi base (diversa da zero) elevata all'esponente 0 è uguale a 1: 2⁰ = 1.

Semplificazione delle Espressioni con Potenze

Semplificare un'espressione significa ridurla a un'unica espressione o a un unico risultato.

Esempio (interpretato): 10⁴ × 10³ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 (7 fattori) = 10⁷.

Divisori e Multipli Naturali

Divisibilità

Un numero naturale è divisibile per un altro quando la divisione del primo per il secondo è esatta (senza resto).

Esempio: 42 ÷ 7 = 6. Sì, perché non c'è resto.

Criteri di Divisibilità

• Per 2: Tutti i numeri pari sono divisibili per 2.
• Per 3: Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è divisibile per 3.
• Per 4: Quando le sue ultime due cifre formano un numero divisibile per 4.
• Per 5: Tutti i numeri che finiscono per 5 o 0.
• Per 6: Un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3.
• Per 8: Quando le sue ultime tre cifre formano un numero divisibile per 8.
• Per 9: Quando la somma delle sue cifre è divisibile per 9.
• Per 10: Tutti i numeri che terminano con 0.

Numeri Primi

I numeri primi sono quei numeri naturali maggiori di 1 che sono divisibili solo per 1 e per se stessi.

Esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Scomposizione in Fattori Primi

Indica che un numero è scritto sotto forma di prodotto di numeri primi.

Esempio: 60 = 2 × 2 × 3 × 5.

Fattorizzazione

Scomporre un numero composto è scriverlo come un prodotto di fattori primi.

Multipli

I multipli di un numero sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando quel numero per tutti i numeri naturali.

Esempio: Multipli naturali di 7 = 0, 7, 14, 21, 28, ...

Minimo Comune Multiplo (MCM)

Il MCM è il più piccolo multiplo comune a due o più numeri. Si calcola scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l'esponente maggiore.

Massimo Comune Divisore (MCD)

Il MCD è il più grande numero naturale che è divisore di tutti i numeri dati. Si calcola scomponendo i numeri in fattori primi e moltiplicando i soli fattori comuni presi una sola volta con l'esponente minore.

Le Frazioni

Una frazione è una parte di un intero. Esempio: 5/8 (5 è il numeratore, 8 è il denominatore).

Tipi di Frazione

• Frazioni Proprie: Sono quelle in cui il numeratore è minore del denominatore.
• Frazioni Improprie: Sono quelle in cui il numeratore è maggiore del denominatore.
• Frazioni Apparenti: Sono quelle in cui il numeratore è un multiplo del denominatore.

Numero Misto

Una frazione impropria o apparente può essere scritta come un numero misto, che ha una parte intera e una parte frazionaria.

Per trasformare un numero misto in frazione impropria, si moltiplica il denominatore per la parte intera e si aggiunge il numeratore.

Esempio: 2 3/4 = (2 × 4 + 3) / 4 = 11/4.

Frazioni Equivalenti

Due o più frazioni che rappresentano lo stesso numero sono dette frazioni equivalenti.

Come si riconoscono? Moltiplicando il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e viceversa. Se i risultati sono uguali, le frazioni sono equivalenti.

Semplificare le Frazioni

Si divide il numeratore e il denominatore per lo stesso numero (il loro MCD) fino a ottenere una frazione irriducibile.

Esempio: 24/36 ÷ 2 = 12/18 ÷ 2 = 6/9 ÷ 3 = 2/3.

Riduzione delle Frazioni allo Stesso Denominatore

Si calcola il MCM dei denominatori. Questo sarà il nuovo denominatore comune. Si divide il denominatore comune per il denominatore di ogni frazione e si moltiplica il risultato per il numeratore di quella frazione.

Confronto di Frazioni

• Con denominatori uguali: La frazione più piccola è quella con il numeratore più piccolo.
• Con denominatori differenti: Si riducono prima le frazioni a un denominatore comune (MCM) e poi si confrontano i numeratori.

Operazioni con le Frazioni

Addizione e Sottrazione di Frazioni

• Con denominatori uguali: Si mantiene il denominatore e si sommano o si sottraggono i numeratori.
• Con denominatori diversi: Si devono prima ridurre le frazioni allo stesso denominatore (MCM). Si divide il nuovo denominatore per il vecchio denominatore e si moltiplica il risultato per il numeratore, ottenendo il nuovo numeratore.

Moltiplicazione delle Frazioni

Si moltiplicano insieme i numeratori e si moltiplicano insieme i denominatori.