Comprendere l'Analisi di Sopravvivenza: Tempo all'Evento e Dati Censurati

Introduzione all'Analisi di Sopravvivenza

L'obiettivo principale delle tecniche di analisi di sopravvivenza è determinare le differenze tra due o più trattamenti applicati a un insieme di individui. Ogni individuo è sottoposto a un trattamento particolare; l'effetto (risposta) viene misurato tramite la comparsa di un certo evento di interesse (es. fallimento, decesso) e il tempo trascorso dall'inizio dell'osservazione dell'individuo fino al momento in cui si verifica l'evento menzionato. In questo senso, le tecniche di analisi di sopravvivenza si applicano a dati che presentano le seguenti caratteristiche:

• La variabile dipendente (o variabile di risposta) è il tempo che intercorre fino a quando l'individuo sperimenta un certo evento di interesse, convenzionalmente chiamato morte. Finché l'individuo non presenta l'evento di interesse, si dice che è 'sopravvissuto' (in vita).
• Le osservazioni possono essere censurate, cioè, alcuni individui potrebbero non arrivare mai a presentare l'evento d'interesse durante il periodo di studio.
• Possono esistere variabili indipendenti (covariate, che caratterizzano gli individui) che influenzano il tempo fino al verificarsi dell'evento, il cui studio può essere anch'esso di interesse. L'uso di queste variabili è facoltativo.

Censura e Troncamento

Nei dati di sopravvivenza, è comune incontrare osservazioni incomplete a causa della censura o del troncamento.

Censura (Censura a Destra)

Un'osservazione è detta censurata a destra se l'individuo non presenta l'evento di interesse durante il periodo di studio, e quindi il suo tempo di sopravvivenza esatto è sconosciuto (sappiamo solo che è maggiore del tempo di osservazione). La censura può verificarsi per diversi motivi:

• Perdita al follow-up: L'osservazione dell'individuo si interrompe prima della fine dello studio, senza che si sia verificato l'evento di interesse.
• Fine dello studio: Lo studio termina prima che l'individuo abbia presentato l'evento di interesse.

Troncamento (Censura a Sinistra)

Si ha troncamento a sinistra quando un individuo inizia ad essere osservato solo dopo un certo tempo dall'inizio dello studio (o dall'origine del tempo rilevante per l'evento). L'individuo è incluso nello studio solo se è sopravvissuto fino all'inizio della sua osservazione.

Speranza di Vita

La speranza di vita (E[T] o μ) è definita come il valore atteso (media) della variabile tempo T (tempo all'evento). Può essere calcolata integrando la funzione di sopravvivenza S(t) da 0 a infinito:

E[T] = ∫[0, ∞] S(t) dt

(Questa formula deriva dall'integrazione per parti e dalla relazione f(t) = -S'(t), dove f(t) è la funzione di densità di probabilità del tempo all'evento).

Questa misura è molto importante nel confronto tra trattamenti. Due trattamenti differiscono nei loro effetti (dal punto di vista dell'analisi della sopravvivenza) se e solo se influenzano in modo diverso la speranza di vita media degli individui. Pertanto, per confrontare trattamenti diversi utilizzando campioni distinti, si stima la speranza di vita per ciascun campione e si traggono conclusioni sugli effetti dei trattamenti basandosi su questi valori stimati.