Concetti Chiave di Fisica: Momenti d'Inerzia, Cinematica, Statica e Fluidi

Momenti d'Inerzia

Il momento d'inerzia (I) è una misura della resistenza di un oggetto alla rotazione. Si calcola come:

• Per un sistema discreto: I = Σ m_i * d_i² (somma dei prodotti della massa di ogni particella per il quadrato della sua distanza dall'asse di rotazione).
• Per un sistema continuo: I = ∫ d² dm (integrale del quadrato della distanza dall'asse di rotazione per la massa infinitesimale).

Teorema di Steiner (o degli assi paralleli): Permette di calcolare il momento d'inerzia rispetto a un asse (a) conoscendo il momento d'inerzia rispetto a un asse parallelo passante per il centro di massa (b): I_a = I_b + m * d², dove 'd' è la distanza tra i due assi.

Cinematica del Punto

La cinematica descrive il moto dei corpi senza considerare le cause.

• Posizione: Definita da un vettore r(t) che varia nel tempo. La legge oraria descrive la posizione in funzione del tempo.
• Traiettoria: L'insieme delle posizioni occupate dal punto durante il suo moto. Si ottiene eliminando il tempo dalle equazioni parametriche del moto.
• Velocità: La derivata della posizione rispetto al tempo: v(t) = dr(t)/dt. Il modulo della velocità è ds/dt, dove 's' è lo spazio percorso. La velocità è sempre tangente alla traiettoria.
• Accelerazione: La derivata della velocità rispetto al tempo: a(t) = dv(t)/dt. Il modulo dell'accelerazione *non* è sempre dv/dt (questo è vero solo per il moto rettilineo). L'accelerazione centripeta (o normale) è data da a_n = v²/R, dove R è il raggio di curvatura della traiettoria.

Tipi di moto

• Moto Rettilineo Uniforme (MRU): Accelerazione nulla (a = 0), velocità costante (v = v₀). s(t) = v₀ * t
• Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato (MRUA): Accelerazione costante (a = cost.). v(t) = a*t + v₀. s(t) = v₀*t + (1/2)*a*t²
• Moto Circolare (MC): s = θ * R, v = ω * R, a_t = α * R, a_n= ω² * R (dove θ è l'angolo, ω la velocità angolare e α l'accelerazione angolare).

Cinematica del Corpo Rigido Piano

Un corpo rigido piano ha 3 gradi di libertà. Il moto di un corpo rigido può essere descritto come una combinazione di traslazione e rotazione.

• Teorema di Chasles: La velocità di un punto B del corpo rigido è data da: V_b = V_a + ω x AB (dove V_a è la velocità di un altro punto A, ω è la velocità angolare del corpo e AB è il vettore che congiunge A e B).
• Centro Istantaneo di Rotazione (CIR): Il punto attorno al quale il corpo rigido istantaneamente ruota. La velocità di un punto B è data anche da V_b = ω x IB, dove IB è il vettore che congiunge il CIR e il punto B.
• Gradi di libertà (GDL): Un punto nel piano ha 2 GDL, un'asta nel piano ha 3 GDL, due aste nel piano hanno 6 GDL.
• Vincoli: Riduzione dei gradi di libertà. Appoggi e cavi (-1 GDL), cerniere (-2 GDL), incastro (-3 GDL).

Metodi per l'analisi cinematica

1. Caso 1 (Conosci la direzione delle velocità di due punti e il modulo di una di esse):
   • Trova graficamente il CIR (intersezione delle perpendicolari alle velocità).
   • Determina ω (ω = V_a / IA, dove IA è la distanza tra il punto A e il CIR).
   • Calcola la velocità di altri punti (V_b = ω x IB).
   • Calcola l'accelerazione (a_b = dV_b/dt; se V_b dipende da un parametro, usa la regola della catena).
2. Caso 2 (Conosci ω e la velocità di un punto):
   • Trova il CIR (perpendicolare alla velocità nota, a distanza IA = V_a/ω).
3. Caso 3 (Corpo a contatto con il suolo):
   • La velocità del centro di massa è parallela al suolo.
   • Il CIR si trova sulla perpendicolare al suolo passante per il punto di contatto.
   • Se il corpo rotola senza strisciare, il CIR coincide con il punto di contatto.
4. Caso 4 (Corpi diversi):
   • Analizza ogni corpo singolarmente.
   • Inizia da un punto fisso (appoggio, incastro, ecc.).
   • Trova la velocità del punto di contatto tra i due corpi (deve essere la stessa per entrambi i corpi).

Statica

La statica studia l'equilibrio dei corpi.

• Metodo:
  1. Schema di corpo libero: identifica tutte le forze (peso, forze applicate, reazioni vincolari).
  2. Equazioni di equilibrio: ΣF = 0 (somma delle forze = 0) e ΣM = 0 (somma dei momenti = 0).
  3. Controllo: se il numero di incognite è uguale al numero di equazioni, il sistema è determinato. Se ci sono più incognite, considera le equazioni di congruenza (es. F = μ * N per l'attrito).
• Strutture composte: Studia ogni elemento separatamente, considerando le reazioni vincolari interne come forze uguali e contrarie.
• Classificazione dei sistemi:
  • Isostatico: 0 gradi di libertà.
  • Labile (meccanismo): gradi di libertà > 0.
  • Iperstatico (indeterminato): gradi di libertà < 0.

Principio dei Lavori Virtuali (PLV)

1. Definisci un sistema di riferimento con un punto fisso.
2. Definisci un parametro (spesso un angolo θ).
3. Esprimi le forze in funzione del parametro (es. P = P*i, F_molla = k(x - L₀)).
4. Trova le coordinate dei punti di applicazione delle forze.
5. Calcola gli spostamenti virtuali dei punti di applicazione delle forze (δr).
6. Applica il principio: Σ(F * δr) = 0 (prodotto scalare).
7. Risolvi rispetto al parametro.

Fluidi

• Densità (ρ): Massa per unità di volume (ρ = dm/dV). Unità: kg/m³. ρ_acqua = 1000 kg/m³, ρ_aria ≈ 1 kg/m³.
• Densità relativa: ρ_liq / ρ_acqua (adimensionale).
• Peso specifico: Peso per unità di volume (peso/volume = ρ * g). Unità: N/m³.
• Pressione (p): Forza normale per unità di superficie (p = F_perp/superficie). Unità: N/m² = Pa (Pascal).
• Altre unità di pressione: 1 atm = 10⁵ Pa ≈ 760 mmHg ≈ 1013.25 mbar.

Principio di Pascal

La pressione esercitata su una superficie di un fluido incomprimibile si trasmette con la stessa intensità in tutte le direzioni. F₁/A₁ = F₂/A₂.

Legge di Stevino

La pressione in un fluido in equilibrio statico aumenta linearmente con la profondità: p₂ - p₁ = -ρ * g * (h₂ - h₁). P_assoluta = p_manometrica + p_atmosferica.

Metodo per problemi sui fluidi:

1. Identifica le densità.
2. Individua le interfacce.
3. Calcola le pressioni.
4. Usa le informazioni note.