Concetti Fondamentali di Calcolo Differenziale: Derivate e Studio di Funzione

La Retta Tangente

Definizione: La retta tangente a una curva in un punto P è la retta limite, se esiste, a cui tendono le secanti PQ al tendere di Q a P (sia da destra sia da sinistra).

Equazione generica di una retta: y = mx + q

Dove m è il coefficiente angolare e rappresenta la tangente goniometrica dell’angolo α che la retta forma con la direzione positiva dell’asse x. Si ha: m = tan(α).

Rapporto Incrementale

Dati una funzione y = f(x), definita in un intervallo (a; b], e un punto del suo grafico A(c; f(c)), incrementiamo l'ascissa di A di una quantità h ≠ 0 e così otteniamo il punto B di ascissa x_B = c + h.

Consideriamo gli incrementi:

• Incremento della variabile indipendente: Δx = h
• Incremento della variabile dipendente: Δy = f(c + h) - f(c)

Il rapporto dei due incrementi è:

(f(c + h) - f(c)) / h

Definizione di Rapporto Incrementale

Dati una funzione y = f(x), definita in un intervallo (a; b], e due numeri reali c e c + h (con h ≠ 0) interni all'intervallo, il rapporto incrementale di f nel punto c (o relativo a c) è il numero:

(f(c + h) - f(c)) / h

Definizione di Derivata

Data una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a; b], la derivata della funzione nel punto c interno all'intervallo, che indichiamo con f'(c), è il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c:

f'(c) = lim_h→0 (f(c + h) - f(c)) / h

La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.

Derivata Sinistra e Derivata Destra

Poiché la derivata è il limite del rapporto incrementale, in analogia a quanto detto per i limiti, possiamo definire la derivata sinistra e la derivata destra di una funzione.

Data una funzione y = f(x), in un punto c:

• La derivata destra è: f'₊(c) = lim_h→0⁺ (f(c + h) - f(c)) / h
• La derivata sinistra è: f'_-(c) = lim_h→0^- (f(c + h) - f(c)) / h

Se una funzione f(x) è derivabile nel punto x₀, in quel punto la funzione è anche continua. Il viceversa non è sempre vero: se una funzione è continua in x₀ non è detto che sia derivabile.

Studio di Funzione

Per tracciare il grafico di una funzione y = f(x), si seguono i seguenti passaggi:

1. Dominio D della funzione: Determinare l'insieme dei valori di x per cui la funzione è definita.

2. Simmetrie: Verificare eventuali simmetrie del grafico rispetto all'asse y e all'origine (possono esserci solo se D è simmetrico rispetto a O):

   • Se la funzione è pari: f(-x) = f(x) (simmetria rispetto all'asse y)
   • Se la funzione è dispari: f(-x) = -f(x) (simmetria rispetto all'origine)

3. Intersezioni con gli assi: Determinare le coordinate degli eventuali punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi cartesiani. Si risolve un sistema ponendo x=0 per l'intersezione con l'asse y e y=0 per l'intersezione con l'asse x.

4. Segno della funzione: Stabilire gli intervalli in cui essa è positiva, ponendo f(x) > 0 e trovando, di conseguenza, anche dove è negativa.

5. Comportamento agli estremi del dominio e Asintoti: Calcolare i relativi limiti agli estremi del dominio e cercare poi gli eventuali asintoti del grafico della funzione:

   • Asintoto verticale: Se lim_x→x₀^± f(x) = ±∞, allora x = x₀ è un asintoto verticale.
   • Asintoto orizzontale: Se lim_x→±∞ f(x) = L (con L finito), allora y = L è un asintoto orizzontale.
   • Asintoto obliquo: Se lim_x→±∞ f(x)/x = m ≠ 0 e lim_x→±∞ (f(x) - mx) = q (con m, q finiti), allora y = mx + q è un asintoto obliquo.

   Classificare inoltre gli eventuali punti di discontinuità o di singolarità.

6. Derivata prima f'(x): Trovare il dominio e gli zeri di f'(x) e dallo studio del segno della derivata prima determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente (f'(x) > 0) e, di conseguenza, quelli in cui è decrescente (f'(x) < 0); cercare gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo e di flesso orizzontale.

7. Derivata seconda f''(x): Calcolare il dominio e gli zeri di f''(x) e dallo studio del segno della derivata seconda determinare gli intervalli in cui il grafico volge la concavità verso l'alto (f''(x) > 0) o verso il basso (f''(x) < 0). Cercare inoltre i punti di flesso a tangente obliqua ed eventualmente la tangente inflessionale.

Man mano che si studiano i vari elementi di una funzione, è conveniente riportare i risultati sul grafico per controllarne la coerenza.

Caratteristiche di Funzioni Comuni

• Funzioni Polinomiali

  • Hanno come dominio ℜ (tutti i numeri reali).
  • Non hanno punti di discontinuità o di singolarità.
  • Non hanno asintoti.
  • Non hanno cuspidi, flessi verticali o punti angolosi.
  • Se sono funzioni dispari, hanno un flesso in O (0; 0).
  • Se sono funzioni pari, hanno un punto di massimo o di minimo relativo in x = 0.

• Funzioni Razionali Fratte

  • Non sono definite nei punti in cui si annulla il denominatore.
  • Hanno un asintoto verticale in ogni punto in cui si annulla il denominatore ma nel quale non si annulla contemporaneamente il numeratore.
  • Hanno un asintoto orizzontale se n = m (dove n è il grado del numeratore e m il grado del denominatore), e in tal caso l'asintoto ha equazione y = (coefficiente direttivo numeratore) / (coefficiente direttivo denominatore), oppure se n < m, e in tal caso l'asintoto è l'asse x (y = 0).
  • Hanno un asintoto obliquo (lo stesso per x → +∞ e x → -∞) solo quando n = m + 1.