Costruzione Geometrica delle Tangenti: Metodi e Applicazioni Pratiche

Costruzione Geometrica delle Tangenti

Di seguito sono illustrate diverse procedure per la costruzione di tangenti tra elementi geometrici (cerchi, rette, punti).

Tangenti tra Due Cerchi

1. Tangente Esterna (Diretta)

Per tracciare la tangente esterna tra due cerchi:

1. Disegnare un altro cerchio concentrico al primo, con raggio pari alla differenza dei raggi ($R_r = R - r$).
2. Unire i centri dei due cerchi originali.
3. Tracciare la retta perpendicolare alla linea dei centri.
4. Tracciare un cerchio di assistenza (ausiliario).
5. Collegare il centro del cerchio più grande con i punti di intersezione di questo cerchio ausiliario con la circonferenza più piccola.
6. Le rette così ottenute, se portate in parallelo alla retta che unisce i centri, individueranno i punti di contatto desiderati.

2. Tangente Interna (Trasversa)

La procedura è simile alla precedente, con la seguente modifica:

• Il cerchio ausiliario viene costruito con raggio pari alla somma dei raggi ($R + r$).
• Le tangenti risultanti saranno parallele al lato opposto (rispetto alla linea dei centri).

Tangente a un Cerchio Passante per un Punto Esterno (P)

Per trovare un cerchio tangente a un dato cerchio (raggio $R$) e passante per un punto $P$ esterno:

• Se il punto è esterno: Si costruisce un cerchio concentrico con raggio $R + r$. Si traccia una circonferenza con centro nel punto dato $P$ e raggio pari alla distanza tra i centri. I punti di intersezione tra questa circonferenza e il cerchio ausiliario forniscono le soluzioni.
• Se il punto è interno: Si procede come sopra, ma sottraendo invece di aggiungere il raggio ($R - r$).

Tangente a Due Rette Formanti un Angolo

Per trovare un cerchio tangente ai lati di un angolo:

1. Tracciare la bisettrice dell'angolo.
2. Tracciare una retta parallela a uno dei lati, distante dal lato stesso del raggio desiderato.
3. Il punto di intersezione tra questa parallela e la bisettrice è il centro del cerchio cercato.

Tangente a un Cerchio in un Punto Specifico (T)

Per tracciare la tangente a un cerchio passante per un punto $T$ sulla circonferenza:

• Collegare il centro del cerchio con il punto $T$.
• Prolungare questa linea; la retta perpendicolare a questa prolungata passante per $T$ è la tangente richiesta.

Legame tra Due Cerchi (Tangenti Comuni)

1. Tangente Concava (Interna)

Si costruiscono due cerchi concentrici, aggiungendo ad ogni raggio la lunghezza del raggio del cerchio più piccolo. I punti di taglio individuano i centri delle tangenti.

2. Tangente Convessa (Esterna)

Si opera in modo simile ai cerchi concentrici, ma utilizzando la differenza tra i raggi (raggio inferiore alla circonferenza).

Cerchio Passante per un Punto (P) e Tangente a un Cerchio (T)

Per trovare un cerchio che passi per un punto $P$ e sia tangente a un cerchio dato nel punto $T$:

1. Unire il centro del cerchio dato con il punto di tangenza $T$ e prolungare la linea.
2. Tracciare la corda $TP$.
3. Costruire la bisettrice del segmento $TP$.
4. Il punto di intersezione tra la bisettrice e la retta prolungata dal centro a $T$ è il centro del cerchio cercato.

Legame tra Due Rette (Tangenti Comuni)

2. Tangenti tra Due Rette

Per trovare il centro di un cerchio tangente a due rette:

• Tracciare due rette parallele alle rette date, distanti da esse della misura del raggio desiderato.
• Il punto di intersezione di queste parallele è il centro del cerchio.

Collegamento di Due Linee con Archi di Diverso Raggio

Per raccordare due segmenti lineari con archi di cerchio di raggi diversi:

1. Dalle estremità di ogni linea, tracciare perpendicolari verso l'esterno.
2. Su queste perpendicolari, segnare punti a una distanza maggiore di quella tra le rispettive estremità.
3. Unire questi punti e tracciare la bisettrice.
4. Il primo centro si trova nel punto in cui la bisettrice interseca la perpendicolare (considerando il punto più esterno, lontano dalle estremità opposte della linea).
5. Il secondo centro si trova sull'altra perpendicolare.
6. La giunzione tra gli archi si ottiene unendo i centri e prolungando tale linea.

Tangente a una Linea Passante per un Punto (P)

Per trovare il centro di un cerchio tangente a una retta e passante per un punto $P$:

1. Tracciare la perpendicolare alla retta passante per $P$. Sia $T$ il punto di intersezione con la retta.
2. Costruire la bisettrice dell'angolo formato dalla retta $PT$ e la retta data.
3. Il centro si trova sull'intersezione di questa bisettrice con la retta perpendicolare alla retta data passante per il centro.

Tangente a una Linea Passante per i Punti A e B

Questo caso sembra riferirsi a trovare un cerchio tangente a una retta e passante per due punti $A$ e $B$:

1. Unire $A$ e $B$ e tracciare la loro bisettrice perpendicolare.
2. Costruire un cerchio ausiliario che passa per $A$ e $B$.
3. Tracciare una tangente a questo cerchio ausiliario (perpendicolare al raggio nel punto di tangenza $C$).
4. Riportare la lunghezza della tangente su entrambi i lati di $C$, ottenendo $T_1$ e $T_2$.
5. Le perpendicolari alla retta data passanti per $T_1$ e $T_2$ intersecano la bisettrice di $AB$ nei centri cercati.

Cerchio Tangente ai Lati di un Angolo e Passante per P

Per un cerchio tangente ai lati di un angolo e passante per un punto $P$:

1. Tracciare la bisettrice dell'angolo.
2. Spostare il punto $P$ lungo la bisettrice fino a ottenere un punto $P'$ tale che la distanza da $P'$ al vertice sia nota (o si possa dedurre).
3. Unire $P$ e $P'$ e prolungare la linea.
4. Costruire un cerchio centrato sulla bisettrice che passa per $P$ e $P'$. Questo cerchio viene poi gestito come un caso precedente (tangente a un cerchio e passante per un punto).

Cerchi Tangenti a una Linea e a un Cerchio in un Punto (T) su Quest'ultimo

Per trovare un cerchio tangente a una retta e tangente a un cerchio dato nel punto $T$:

1. Unire il centro del cerchio dato con $T$ e prolungare la linea.
2. Tracciare una perpendicolare alla retta data passante per $T$. Sia $L$ il punto di intersezione con la retta.
3. I centri si troveranno sulle bisettrici supplementari trovate, all'intersezione di queste con la linea che congiunge $T$ e il centro del cerchio dato.

Cerchio Tangente a un Altro Cerchio e Passante per A e B

Per trovare un cerchio tangente a un cerchio dato e passante per i punti $A$ e $B$:

1. Tracciare la bisettrice perpendicolare del segmento $AB$.
2. Costruire un cerchio ausiliario centrato su questa bisettrice e passante per $A$ e $B$.
3. Tracciare una tangente al cerchio dato.
4. Si determina il raggio ($ER$) di entrambi i cerchi.
5. Nel punto in cui l'estensione della retta $AB$ interseca la tangente al cerchio dato, si ottiene un punto da cui si tracciano le tangenti al cerchio ausiliario.
6. Unire il centro del cerchio dato con i punti di tangenza ($T_1$ e $T_2$). Prolungare queste linee; l'intersezione con la bisettrice di $AB$ fornisce i centri cercati.

Cerchi Tangenti a Due Altri Cerchi, con Tangenza in un Punto su Uno di Essi

Problema equivalente a: passare per un punto $T$ (di tangenza) ed essere tangente a un altro cerchio.

Caso 1

1. Collegare il centro del primo cerchio con il punto di tangenza $T$.
2. Tracciare una perpendicolare alla retta $CT$ passante per $T$.
3. Costruire un cerchio ausiliario passante per $T$ e tangente all'altro cerchio.
4. Si trova il punto di intersezione ($PS$) dove questo cerchio ausiliario interseca il secondo cerchio.
5. Si tracciano le tangenti per $PS$ al secondo cerchio e si procede come nei casi precedenti.

Caso 2

1. Si aggiunge o si sottrae il raggio del secondo cerchio da $T$ (ottenendo un punto $T'$).
2. Si unisce $T'$ con il centro del secondo cerchio e si traccia la perpendicolare.
3. I punti di intersezione di questa perpendicolare con la linea che collega il centro del primo cerchio con $T$ sono i centri cercati.