Costruzioni Geometriche Fondamentali: Ovali, Coniche e Tangenti

Introduzione alle Costruzioni Geometriche

Questo documento descrive vari metodi per la costruzione di figure geometriche piane come ovali, ellissi, iperboli e parabole, oltre a tecniche per tracciare tangenti a queste curve da punti o rette specifici. Le istruzioni sono presentate in modo conciso, focalizzandosi sui passaggi chiave per ogni costruzione.

Ovalo dato l'asse minore

Se si dispone dell'asse minore CD, lo si posiziona verticalmente e si individua il punto medio O. Con centro in O, si traccia una circonferenza di raggio OC (o OD). I punti di intersezione di questa circonferenza con la linea verticale di taglio (o asse maggiore, se implicito) sono N e M. Si uniscono i punti C con M, C con N, D con M e D con N.

Ovalo dato l'asse maggiore

Dato l'asse maggiore AB, lo si divide in tre parti uguali. Si individuano i centri C1 e C2 (i punti di divisione interni). Con centro nel primo punto di divisione (non A), si traccia una circonferenza. Con centro nel secondo punto di divisione (non B), si traccia un'altra circonferenza che passa per le intersezioni con B. I punti di intersezione di queste circonferenze con l'asse AB saranno M e N. Si uniscono i punti C (presumibilmente un centro esterno) con M e N.

Ovalo dati due punti

Si ottengono i punti medi di AB e CD. Si prende l'estensione verticale o i percorsi di OA e dall'arco verticale (T). Da A, unendosi C a C, si misura T e si sposta AC. Si traccia la bisettrice del segmento AC, ma meno l'arco prima della bisettrice T. La bisettrice taglia AB; il punto risultante è unito con il punto C. Questo passa anche per O e incontra C. Quei due punti sono uniti anche con D.

Ovalo dato l'asse minore (Metodo alternativo)

Dato l'asse minore CD, si traccia la sua mediatrice. Con centro in O (presumibilmente il punto medio di CD), si traccia una circonferenza che passa per C e D. Il punto di intersezione con la bisettrice è P, e si unisce a CD.

Ovalo dato l'asse (Metodo alternativo)

Si posiziona l'asse AB e lo si divide in 6 parti uguali, tracciando linee verticali. Si individua la seconda linea di divisione. Da questa, si traccia una linea orizzontale dal punto medio della seconda circonferenza fino ad A, superando il centro C. Nel secondo punto medio, si individua B e si taglia con la linea orizzontale. I due punti risultanti saranno R e S. Si unisce il punto 5 a R e S.

Ovoide dati due assi

Si posiziona l'asse CD orizzontalmente nel centro O. Con centro in O, si traccia una circonferenza passante per C e D. Si traccia la bisettrice di CD. Il punto di intersezione sopra e sotto il centro è P. Con centro in P, si traccia una circonferenza passante per O. Da qui, si traccia una perpendicolare verso il basso per trovare un altro punto, il cui raggio è b. Con raggio PB, si trasferisce da D, ottenendo E. Si uniscono P ed E e si traccia la bisettrice, prolungandola fino all'intersezione con la linea orizzontale, che è S. Si prende la misura OS e la si riporta sull'altro lato, ottenendo S'. Si uniscono S ed S' a P.

Costruzione dell'Ellisse per punti

Si posizionano gli assi AB e CD, con la mediatrice orizzontale. Con centro in C e raggio AO (metà dell'asse maggiore), si traccia un arco che interseca l'asse maggiore in F e F' (i fuochi). Da F a O, si effettuano 8 divisioni. Sull'altro lato, in B, si aprono fino al punto 1 a sinistra e si tracciano archi su quei punti. Successivamente, dal lato A1 e F, tracciando sull'altro arco, si completa la costruzione con tutti i punti.

Costruzione dell'Ellisse per affinità

Si posizionano gli assi AB e CD in una mediatrice. Da C, con centro in O, si traccia una circonferenza passante per CD. Si divide la circonferenza in 12 parti uguali. Si uniscono i punti di divisione. Si traccia una linea che passa per C e la circonferenza AB. In questo modo si avranno anche 12 divisioni. Si estendono i punti di unione. Dai punti che incontrano C, si traccia una linea verticale in direzione della circonferenza più piccola. I punti di attacco delle linee orizzontali della circonferenza più piccola si uniscono con gli altri, generando i punti dell'ellisse.

Costruzione dell'Iperbole proiettiva

Si posizionano AB e FF' orizzontalmente. Da una distanza O a sinistra, si traccia una perpendicolare (sia sopra che sotto). Da ogni lato, da A e B, si traccia una perpendicolare. Unendosi per misurare i due indirizzi, si trova il punto P. Risulteranno 4 rettangoli per lato, divisi in 2 parti. Si uniscono la parte superiore e inferiore 1, 2 e 1, 2 dell'altro lato. Invece di B, si lasciano i punti.

Tangente a un'ellisse da un punto esterno

Si posizionano AB e FF'. Si traccia la bisettrice di FF'. Si prende AO e si disegna un arco P CD. Si uniscono F e F'. Si misura F AB in un arco di C. Da P, con un arco di F', si unisce F' con 1. Si traccia la mediatrice di 1-F' (T1) P. Si unisce passando per F' a 2 e la bisettrice che passa per P (t2). Dove t1 taglia l'unione di 1-F e 2-F è T1, e con T2 è T2.

Tangente a un'iperbole da un punto esterno

Si posizionano AB e CD nella mediatrice. Da A e B, si uniscono anche i vertici del quadrato. Dall'alto, si traccia un arco orizzontale con centro in O (sarà FF'). Si procede come per AB da F C. Da P, si passa per F', ottenendo i punti 1 e 2. Si unisce 1 con F'. Si traccia la bisettrice e la si unisce attraverso P, che è t1. Si unisce 2 con F' e si traccia la bisettrice t2. Per T2, si unisce F-2 (quando questo sarà tagliato al punto T2) e T1 si unisce F-1 (identificazione).

Tangente a una parabola da un punto esterno

Si traccia una linea verticale (d) e, dove desiderato, un asse orizzontale. Si ha la distanza F P. Si prende PF e si taglia ad arco D. I due tagli saranno sopra 1 e sotto 2. Si traccia la mediatrice che unisce i due punti (passando per P). Questi sono T1 e T2. Per trovare T1 e T2, si traccia una linea orizzontale e si individua il punto di taglio.

Tangente a un'ellisse parallela a una data retta

Si hanno AB e FF'. Si ottiene R. Con raggio AB, poiché è la circonferenza. Prendendo R come riferimento, si traccia un angolo di 90° con F e si taglia a C. I punti di incontro saranno 1 e 2 e le loro bisettrici (T1-T2). Per T1 e T2, F' si unisce con 1 e 2.

Tangente a un'iperbole da una data retta

Dati R, CD e AB, si posizionano nella mediatrice. Da A e B, si tracciano perpendicolari per aumentare l'altezza di CD. Negli angoli della parte superiore, con centro, si traccia FF'. Per quanto riguarda AB, cliccando F', si ottiene C. Si traccia una linea di 90° con R passante per F e si taglia a C in due punti 1 e 2. Si ha la bisettrice di F a 1 (T1). Per tracciare il parallelo t1, si passa per il punto 1 (T2). Si unisce 2 con F' per tagliare T2 (T2) e 1 F' che taglia T1 (T1).