Dinamica del Corpo Rigido Piano: Momento delle Forze d'Inerzia rispetto al Baricentro G

Per quanto riguarda il momento delle forze d'inerzia, diamo il risultato nel caso particolare
di un corpo rigido bidimensionale appartenente al piano xy di un riferimento cartesiano sso
(O; x; y; z) e in moto nel piano stesso. Come noto, in questo caso particolare il c.R. Ha velocita
angolare w e accelerazione angolare wpunto date da
w= +-titapuntok; wpunto = +-titapunto k (10.8)
essendo tita l'angolo di rotazione del corpo rigido. Vale allora il seguente risultato:
Teorema. Dato un c.R. Piano, di massa m e momento di inerzia IG rispetto al baricentro G, il
momento M(m)
G delle forze d'inerzia rispetto al baricentro G e dato da
M(m)G := ??IG _! : (10.9)
Dimostrazione. Consideriamo una distribuzione particellare (Pi;mi) (i = 1; 2; :::;N) (la
domostrazione e del tutto analoga nel caso di distribuzione continua).
Nelle ipotesi particolari del teorema, l'accelerazione ai di un generico punto Pi del c.R. Piano e
data da
ai = aG ?? !2(Pi ?? G) + _! ^ (Pi ?? G) ; (10.10)
sostituendo ai nell'espressione del momento M(m)
G abbiamo allora
M(m)G = ??XNi=1(Pi ?? G) ^ miai
= ??XNi=1(Pi ?? G) ^ mi aG +XNi=1(Pi ?? G) ^ (mi !2(Pi ?? G)) ??XNi=1(Pi ?? G) ^ (mi _! ^ (Pi ?? G)) :
La prima e la seconda sommatoria nell'ultima riga sono identicamente nulle poiché
XNi=1(Pi ?? G) ^ mi aG =??XNi=1mi (Pi ?? G)^ aG(10:7) = 0 ;
XNi=1(Pi ?? G) ^(mi !2 (Pi ?? G))
= !2XNi=1mi (Pi ?? G) ^ (Pi ?? G) = 0 :
Per quanto riguarda la terza sommatoria, osserviamo che
(Pi ?? G) ^??_!^ (Pi ?? G)
= _! R2 i (ri := PiGbarrarriba)
dove si e utilizzata l'identita del doppio prodotto vettore a ^ (b ^ c) = ??(a  b) c + (a  c) b con
a = c = Pi ?? G, b = _! Ed il fatto che il moto e piano; si ha allora
M(m)G = ??XNi=1(Pi ?? G) ^ mi??_!^ (Pi ?? G)
= ?? _!XNi=1mi r2i = ??IG _! :

Dal risultato generale sul risultante R(m) e da quello sul momento M(m)
G , valido per un corpo
rigido piano, segue allora il seguente corollario:
Corollario. Il sistema di forze d'inerzia agenti su un c.R. Piano e equipollente ad una \forza
di inerzia" F(m) applicata nel baricentro del c.R. E ad una \coppia di inerzia" C(m), date
rispettivamente da
F(m) := ??MaG ; C(m) := ??IG _! : (10.11)
Osservazione. Tenendo conto dell'espressione della coppia di inerzia e evidente che la seconda
equazione (10.5), scritta per un corpo rigido piano e rispetto al suo baricentro G, e l'equazione
che esprime il teorema del momento delle quantita di moto rispetto al baricentro del c.R.
Il corollario precedente puo essere di utilita pratica nello scrivere le equazioni di moto per sistemi
di c.R. Piani, in quanto possiamo analizzare la dinamica di un sistema articolato come un
problema di equilibrio, \aggiungendo" ad ogni c.R. Del sistema la sollecitazione d'inerzia \forza
+ coppia" data dalla (10.11). In particolare, il vantaggio di \costruire" la seconda equazione
cardinale della dinamica come equazione di equilibrio dei momenti deriva dal fatto che nell'equazione
del momento ogni polo e equivalente, mentre nell'equazione del momento delle quantita di
moto dKA/dt+vA ^Q = MA+M´A

 l'esistenza del termine vA ^Q e il calcolo di KA dipendono
in modo non banale dalla scelta di A.