Equazioni cardinali e teorema dell'energia cinetica: conservazione e vincoli nei sistemi meccanici

Teorema dell'energia cinetica

Oltre a queste equazioni, in dinamica è utile considerare un'ulteriore equazione (identicamente soddisfatta nel caso statico), nella quale intervengono però tutte le forze presenti nel sistema, non solo quelle esterne. Moltiplicando scalarmente per v_i l'equazione di moto per il generico punto P_i e sommando sui punti del sistema si ottiene il teorema dell'energia cinetica:

dT/dt = P ; (3.8)

T è l'energia cinetica del sistema

T = 1/2 Σ_i=1^N m_i v_i² ;

T = 1/2 ∫_m v² dm = 1/2 ∫_S ρ v² dS ; (3.9)

P è la potenza complessiva delle forze applicate al sistema (attive e reattive, sia esterne che interne), definita per un sistema di punti da:

P = Σ_i=1^N f_i · v_i (3.10)

essendo f_i la forza complessiva (attiva e reattiva) applicata al punto P_i.

Forze interne e moto rigido

Vale la pena di ricordare che, mentre le forze interne hanno risultante e momento nulli, la potenza (e il lavoro) delle forze interne è in generale diversa da zero; se però l'atto di moto è rigido anche la potenza delle forze interne è nulla. Questo risultato segue immediatamente osservando che per un qualunque sistema di forze f_i applicate ai punti P_i le cui velocità siano date dalla formula dell'atto di moto rigido

v_i = v_A + ω × (P_i - A),

la potenza è data da

P = Σ_i=1^N f_i · v_i = Σ_i=1^N f_i · (v_A + ω × (P_i - A)) = R · v_A + M_A · ω (3.11)

se in particolare le forze sono quelle interne, allora R = 0, M_A = 0, e quindi P_int = 0.

Conservazione dell'energia meccanica

Una interessante conseguenza del teorema dell'energia cinetica segue dalle seguenti ipotesi:

• (i) vincoli bilaterali e assiali,
• (ii) tutti i vincoli (esterni ed interni) non dissipativi (ideali),
• (iii) forze attive (esterne e interne) agenti sul sistema posizionali e conservative: esiste cioè una funzione U della configurazione del sistema (detta il potenziale della sollecitazione attiva) per cui P_att = dU/dt.

Dalle prime due ipotesi segue che la potenza delle reazioni vincolari è nulla, per cui il teorema dell'energia cinetica fornisce un'equazione pura di moto: dT/dt = P_att; dall'ipotesi (iii) segue allora che dT/dt = dU/dt, da cui si deduce che durante il moto si ha la conservazione dell'energia meccanica

T - U = E (costante).

Osservazioni

Le equazioni cardinali consentono di studiare il moto o l'equilibrio di ogni sistema meccanico, senza limitazioni sul tipo di forze applicate e sul tipo di vincoli, esterni ed interni, cui il sistema è sottoposto. In particolare consentono di determinare, oltre al moto o all'equilibrio, le reazioni vincolari applicate al sistema in condizioni dinamiche o statiche, problema di notevole interesse in molti problemi applicativi.

Occorre però fare alcune osservazioni sull'uso di tali equazioni.

Numero e indipendenza delle equazioni

(i) Le equazioni cardinali sono due equazioni vettoriali, corrispondenti a sei equazioni scalari (e a tre equazioni scalari nel caso piano). Osserviamo che formalmente si possono scrivere infinite equazioni, cambiando il polo rispetto a cui scrivere la seconda equazione cardinale; si dimostra però che una volta soddisfatta la prima equazione cardinale e la seconda rispetto ad un polo O, l'equazione cardinale che si ottiene scegliendo un diverso polo A è identicamente soddisfatta dalla soluzione delle prime due; pertanto in statica per un intero sistema non si possono scrivere più di sei equazioni indipendenti, in dinamica si hanno al più (introducendo anche il teorema dell'energia cinetica) sette equazioni indipendenti. Tali equazioni sono condizioni necessarie del moto o dell'equilibrio del sistema, ma non sono in generale sufficienti, se non per un singolo corpo rigido. Se si vuole pervenire ad un numero sufficiente di equazioni, occorre quindi applicare tali equazioni anche ai sottosistemi che si possono ottenere analizzando separatamente alcune parti (tipicamente, per un sistema articolato, composto da un numero finito di corpi rigidi tra loro vincolati, si possono considerare come sottosistemi i singoli corpi rigidi).

In linea di principio, quindi, per un sistema di corpi rigidi e di punti materiali scrivendo le equazioni cardinali per il sistema e per le sue parti si perviene ad un numero sufficiente di equazioni che consentono di determinare il moto o l'equilibrio. Occorre però notare che, quando si considera un sottosistema, nelle equazioni relative ad esso compaiono generalmente come forze esterne delle nuove incognite, date dalle reazioni vincolari interne al sistema complessivo, che diventano esterne per il sottosistema che si considera, e che rappresentano le forze che le parti del sistema si scambiano tra loro. Tali forze sono incognite, e le loro proprietà dipendono dalla natura dei vincoli tra le parti del sistema.

Se il sistema è composto da più parti e non si fa una scelta oculata dei sottosistemi e delle equazioni, ci si può trovare quindi a dover analizzare un numero elevato di equazioni anche per sistemi con pochi gradi di libertà.

Esempio: sistema biella-manovella

Come semplice esempio di tale situazione generale, ricordiamo il caso ben noto di un sistema biella-manovella, costituito da un'asta OA incernierata in O (manovella) e da un'asta AB (biella) collegata alla prima nella cerniera A e con l'estremo B vincolato con un carrello, che supponiamo liscio, all'esterno. Tale sistema ha un grado di libertà; per determinarne l'equilibrio, note le forze attive applicate, si hanno a disposizione sei equazioni, ad esempio tre equazioni per l'intero sistema e tre per la biella AB, nelle sei incognite rappresentate, oltre che dalla coordinata libera, dalle due reazioni vincolari nella cerniera fissa O, dalla reazione nel carrello B e dalle due reazioni interne tra biella e manovella nella cerniera A (supponiamo che i vincoli siano ideali, non dissipativi). Come noto, la scelta più opportuna è quella di scrivere l'equazione M_O = 0 per il sistema, e l'equazione M_A = 0 per la sola biella AB, avendo così un sistema di due equazioni nelle due incognite date dalla coordinata libera e dalla reazione vincolare nel carrello.

Eliminazione delle reazioni vincolari

(ii) In base alle osservazioni precedenti, se lo scopo è quello di determinare il moto o l'equilibrio del sistema, senza calcolare anche le reazioni vincolari, l'uso delle equazioni cardinali presenta quindi due tipi di difficoltà: occorre pervenire ad equazioni pure nelle sole incognite di configurazione (coordinate libere) eliminando le reazioni vincolari dal sistema di equazioni cardinali che si sono scritte, e determinare un numero di equazioni pure indipendenti in numero pari ai gradi di libertà del sistema.