Esplorando i Paradossi: Da Cantor a Russell e il Mentitore

Cos'è un Paradosso?

Un paradosso è un'affermazione o un ragionamento che, pur partendo da premesse apparentemente vere e seguendo una logica impeccabile, porta a una conclusione contraddittoria, inaspettata o contraria all'opinione comune. I paradossi possono essere di natura logica o semantica. Il paradosso di Russell è un esempio di paradosso logico, mentre quello del mentitore è semantico. Lo studio dei paradossi ha stimolato la nascita di nuove teorie fondamentali, come la teoria dei tipi di Russell o la distinzione tra diversi livelli di linguaggio.

Il Paradosso di Cantor e l'Infinito

Secondo il teorema di Cantor, dato un insieme qualsiasi, l'insieme di tutti i suoi possibili sottoinsiemi (noto come insieme delle parti) ha sempre una cardinalità (cioè una 'dimensione') strettamente maggiore dell'insieme di partenza. La cardinalità dell'insieme delle parti si ottiene considerando tutte le possibili combinazioni dei suoi elementi.

Questo porta a un paradosso se si tenta di considerare l'"insieme di tutti gli insiemi". Se un tale insieme esistesse, dovrebbe contenere anche se stesso e il proprio insieme delle parti. Ma, per il teorema di Cantor, l'insieme delle parti dovrebbe avere una cardinalità maggiore dell'insieme stesso, portando a una contraddizione. Questo è noto come il paradosso di Cantor.

Georg Cantor dedicò la sua vita a sviluppare l'aritmetica dei numeri transfiniti, fornendo un fondamento matematico rigoroso al concetto di infinito attuale. Dimostrò matematicamente che l'infinito non è un concetto unico e indifferenziato: non tutti gli infiniti hanno la stessa dimensione.

Già Galileo Galilei aveva osservato un aspetto sorprendente degli insiemi infiniti (noto come paradosso di Galileo): se si ammettono tali insiemi, sembra che ci siano tanti numeri interi quanti numeri pari, nonostante i numeri pari siano solo una parte degli interi. Questo metteva in crisi l'intuizione comune sulla 'dimensione'.

Molti matematici inizialmente erano riluttanti ad accettare il concetto di infinito attuale. Cantor partì proprio da queste osservazioni e sviluppò una procedura formale per confrontare le dimensioni degli insiemi infiniti, basata sulla possibilità di stabilire una corrispondenza biunivoca tra i loro elementi: due insiemi (finiti o infiniti) hanno la stessa cardinalità se è possibile associare ogni elemento del primo insieme a uno e un solo elemento del secondo, e viceversa.

Il Paradosso di Russell

Il filosofo e matematico britannico Bertrand Russell scoprì un altro paradosso fondamentale annidato nel concetto stesso di 'insieme', come era inteso nella teoria ingenua degli insiemi. Consideriamo l'insieme R definito come "l'insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento".

A questo punto, ci si può chiedere: l'insieme R contiene se stesso oppure no?

• Se R contiene se stesso, allora per definizione dovrebbe essere un insieme che non contiene se stesso. Contraddizione.
• Se R non contiene se stesso, allora soddisfa la proprietà richiesta per appartenere a R, quindi dovrebbe contenere se stesso. Contraddizione.

Come soluzione a questo e altri paradossi simili, Russell propose la Teoria dei Tipi. Secondo questa teoria, tutti gli oggetti logici (insiemi, proposizioni, ecc.) devono essere ordinati in una gerarchia di 'tipi'. Un predicato o una proprietà possono essere applicati validamente solo a oggetti di un tipo appropriato (generalmente inferiore nella gerarchia), impedendo così le definizioni autoreferenziali che generano il paradosso.

Paradossi Semantici: Il Paradosso del Mentitore

Un'altra categoria importante è quella dei paradossi semantici, legati al significato e alla verità delle proposizioni.

Il Paradosso di Epimenide

Nell'antica Grecia era famoso il cosiddetto paradosso del mentitore, spesso attribuito a Epimenide di Creta. Una versione comune è: "Epimenide il cretese dice: Tutti i cretesi sono bugiardi".

Analizziamo l'affermazione:

• Se Epimenide dice il vero, allora la sua affermazione ("Tutti i cretesi sono bugiardi") deve essere vera. Ma Epimenide stesso è cretese, quindi anche lui dovrebbe essere un bugiardo. Se è un bugiardo, ciò che dice deve essere falso. Contraddizione.
• Se Epimenide mente, allora la sua affermazione è falsa. Questo significa che è falso che "Tutti i cretesi sono bugiardi", ovvero esiste almeno un cretese che dice la verità. Questo non crea una contraddizione diretta per l'affermazione specifica di Epimenide (potrebbe essere lui il bugiardo e altri cretesi veritieri), ma illustra la natura problematica dell'autoreferenzialità.

Una forma più diretta e stringente del paradosso è la semplice frase: "Questa frase è falsa". Se è vera, il suo contenuto afferma che deve essere falsa. Se è falsa, allora è vero il suo contenuto, cioè che è falsa.

Livelli di Linguaggio

Il paradosso del mentitore e altri simili sembrano sorgere da una confusione tra diversi livelli di linguaggio. Il linguaggio che usiamo per parlare del mondo e degli oggetti (linguaggio oggetto) è considerato un primo livello. Quando usiamo il linguaggio per parlare delle proprietà del linguaggio stesso (ad esempio, per affermare che una certa frase è 'vera' o 'falsa'), stiamo operando a un livello superiore, chiamato metalinguaggio.

La soluzione proposta da Alfred Tarski e altri consiste nel mantenere distinti questi livelli: una frase in un dato linguaggio può vedere attribuito un valore di verità (vero/falso) solo in un metalinguaggio di livello superiore. La frase "Questa frase è falsa" viola questa distinzione, poiché cerca di predicare la propria falsità all'interno dello stesso livello linguistico. La gerarchia dei metalinguaggi può, in linea di principio, estendersi indefinitamente.

Paradossi Legati all'Ambiguità

Alcuni paradossi, come il paradosso del sorite (o del mucchio), derivano dall'ambiguità o dall'applicazione imprecisa di termini nel linguaggio naturale.

La chiave di questi paradossi risiede spesso nell'uso di concetti vaghi (come 'mucchio', 'calvo', 'alto') che non hanno confini nettamente definiti nel linguaggio comune. Questa imprecisione permette la costruzione di catene di ragionamenti apparentemente logici che portano a conclusioni assurde (es. togliendo un granello alla volta da un mucchio, quando smette di essere un mucchio?).