Fisica Relativistica: Quantità di Moto ed Energia Cinetica

Quantità di Moto

Nella fisica classica, la quantità di moto p si conserva (rimane costante) nei sistemi isolati, permettendo lo studio, ad esempio, degli urti.

Tuttavia, continuando a definire p = mV, la quantità di moto p perde la proprietà di conservarsi con le trasformazioni relativistiche. Per questo motivo, la si definisce in altro modo per mantenerne la conservazione (proprietà già verificata nel caso del filo uniformemente carico).

1. La non-conservazione della quantità di moto classica in sistemi relativistici

Da un sistema di riferimento S viene lanciata una palla, così come da un sistema S’. Una volta avvenuto l'urto nel punto A (a distanza L lungo l'asse verticale y da entrambi i punti di partenza), la palla lanciata da S’ ritorna al punto di partenza.

Un osservatore posto in S’ calcola le due quantità di moto verticali:

P'y = m*V = m*L/Δt'

Py = m*V = m*L/Δt, dove Δt = Δt'/γ

Da un punto di vista classico, le due palle avrebbero avuto entrambe una quantità di moto p = mV₀ in modulo nella loro componente verticale. Essendo uguali ed opposte, la quantità di moto totale (p_tot) prima dell'urto sarebbe stata pari a 0. Poiché l'urto ha l'effetto di capovolgere le quantità di moto, la quantità di moto totale sarebbe comunque stata pari a 0 anche dopo l'urto. Ora, invece, in campo relativistico, p ≠ p' anche in modulo prima dell'urto; quindi, poiché l'urto fa cambiare il verso alle quantità di moto, la quantità di moto non si conserva più.

2. Definizione relativistica della quantità di moto per la conservazione

La quantità di moto relativistica è definita come:

P_relativistica = m*u / √(1 - u²/c²)

dove u è la somma vettoriale tra la velocità della palla (V_palla) e la velocità relativa dei sistemi (V_relativa).

Si usa porre 1/√(1 - u²/c²) = γ, facendo però attenzione a non confonderlo con il γ che abbiamo usato fino ad ora.

Con questa formulazione, la quantità di moto si conserva anche in sistemi relativistici. Inoltre, quando u/c tende a 0, la quantità di moto si riduce a mV, dimostrando che la formula classica è un'approssimazione di quella relativistica.

La velocità c nelle formule relativistiche costituisce la velocità limite. Anche nel caso di un moto inizialmente uniformemente accelerato, la crescita della velocità non potrà essere lineare, ma quando tende alla velocità della luce c, essa diventa un asintoto della funzione.

Energia Cinetica

Nell'ambito classico, l'energia cinetica (E_c) è definita come:

E_c = ∫F ⋅ ds

Ma come conseguenza del cambiamento della quantità di moto, la forza relativistica (F_rel) è definita come F_rel = dp_rel/dt. Si può dimostrare che:

E_c = ∫F_rel ⋅ ds = γmc² - mc²

E che se u → 0 (ossia u << c), l'energia cinetica relativistica (E_c_rel) si riduce a ½ mu², che è il risultato della fisica classica e si conferma essere un'approssimazione della fisica relativistica.

γmc² = E_c + mc²

γmc² è quindi uguale all'energia totale (E_tot).

Quindi la formula completa è:

E_tot = E_c + mc² = γmc²

Dove mc² è un termine indipendente dalla velocità (a differenza di E = γmc² che dipende dalla velocità tramite γ) ed è detto Energia di riposo. Einstein arriva quindi a dire che la massa è una fonte enorme di energia, riassunta nella celebre formula: E=mc².

È l'energia che viene liberata nei decadimenti e nelle reazioni nucleari: nella fissione (un nucleo pesante si divide in due nuclei più leggeri liberando energia) e nella fusione (le velocità elevatissime delle particelle, dovute alla temperatura altissima, fanno sì che la forza forte prevalga sulla repulsione elettrica, e così nuclei leggeri si fondono e, alla fine di una catena di reazioni, si viene a formare un nucleo più pesante, l'elio (He)). In tutti questi casi, non si conserva più la massa, ma si conserva l'energia. La massa è quindi una forma di energia.

Relazione tra Energia Cinetica e Quantità di Moto

Vogliamo ora calcolare l'energia cinetica (E_c) in funzione della quantità di moto (p).

Nella fisica classica:

p² = m²V²

E_c = 1/2 mV² → E_c = p²/2m

Nella relatività, si può esprimere l'energia totale relativistica come:

E_tot_rel² = (mc²)² + p²c²

Da qui deriva che quando la massa di riposo è pari a 0 (ovvero (mc²)² = 0), si ottiene che p = E/c (relazione fondamentale in meccanica quantistica).