Fondamenti della Matematica: Dagli Elementi di Euclide ai Numeri Razionali

Gli Elementi di Euclide

Gli Elementi di Euclide sono una delle opere matematiche più importanti di tutti i tempi. Furono scritti ad Alessandria intorno al 300 a.C., durante il periodo ellenistico, un’epoca caratterizzata da un grande sviluppo della scienza e della filosofia dopo le conquiste di Alessandro Magno.

L’opera si distingue per il suo approccio assiomatico-deduttivo: parte da definizioni, postulati e nozioni comuni, e da questi ricava con rigore i teoremi. Questo metodo ha avuto una grande influenza sull’insegnamento e sullo sviluppo della matematica nel corso dei secoli.

Il testo originale fu scritto in greco antico, ma fu tradotto successivamente in altre lingue, come l’arabo e il latino, permettendo così una larga diffusione in Europa.

La matematica all'alba della civiltà

La matematica nacque per esigenze pratiche, come contare il bestiame o controllare le scorte alimentari, e da qui si svilupparono i primi sistemi di numerazione. La delimitazione dei terreni diede origine alla misurazione agraria, che fu la precorritrice della geometria.

I primi strumenti furono le bullae, sfere di argilla con gettoni di pietra all’interno che rappresentavano delle merci. Successivamente, i gettoni furono sostituiti da disegni sull’argilla, e le sfere da tavolette, dove si usavano simboli per indicare quantità (per esempio, un segno per “100 pecore” invece di disegnarle).

Da questa innovazione nacquero gli antichi sistemi numerici:

• Sumero (additivo)
• Babilonese (sessagesimale e posizionale)
• Egiziano
• Greco attico
• Romano

Anche se nata con scopi pratici, nella civiltà greca la matematica si trasformò sotto l’influenza della filosofia in una disciplina astratta, non solo utile, ma anche orientata allo sviluppo personale, alla precisione e alla perfezione.

I numeri naturali visti nell’ottica degli assiomi di Peano

Così come Hilbert aveva assiomatizzato la geometria euclidea nello stesso periodo, Peano mette in discussione alcuni fondamenti della matematica. Il suo obiettivo è dimostrare tutte le conoscenze matematiche e, per farlo, parte dal concetto di numero.

Secondo i suoi postulati:

• 1 è un numero.
• Il suo successivo è un numero.
• L'uno non è il successivo di nessun numero.

Capiamo quindi che per lui l’insieme dei numeri naturali inizia da 1 e non da 0. Infine, definisce l’insieme N come quell’insieme che contiene l'uno e il successivo di ogni suo numero, introducendo l’idea di infinità. Con Peano, i numeri naturali assumono una "ordinalità".

L’infinito in matematica

L’infinito è un concetto fondamentale ma complesso in matematica. Nell’antica Grecia non si poteva usare liberamente perché era considerato appartenente al mondo divino. Per questo, in opere come gli Elementi, Euclide introdusse l’idea di un “infinito potenziale”, affermando che “per ogni numero primo ce n’è uno successivo”, senza usare direttamente la parola “infinito”.

In aritmetica sappiamo che i numeri sono infiniti, anche se questa affermazione può sembrare paradossale. I numeri si dividono in insiemi: naturali, interi e razionali. Sia i numeri naturali che quelli interi sono infiniti, ma l’insieme degli interi contiene più elementi di quello dei naturali, il che suggerisce l’esistenza di un infinito “maggiore” e uno “minore”. Questa idea fu formalizzata da Georg Cantor, che dimostrò che esistono diversi “gradi” di infinito.

La matematica greca

La matematica greca nacque con figure come Talete, che introdusse i primi teoremi geometrici, e Pitagora, che vedeva i numeri come la base dell’universo. I pitagorici, organizzati in comunità religiose e filosofiche, usavano i numeri con un significato sia mistico che rigoroso, studiando numeri primi e irrazionali.

A differenza di altre civiltà, i greci svilupparono una matematica teorica, basata sulla logica e sulla dimostrazione, dando grande importanza alla geometria. Platone e Aristotele ne sottolinearono il valore educativo e conoscitivo. Grazie al recupero dei testi nell’epoca ellenistica, la matematica greca ha lasciato un’eredità fondamentale per la scienza occidentale.

Il teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora si applica ai triangoli rettangoli. Afferma che il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. La formula è:

c² = a² + b²

Questo teorema permette di calcolare lunghezze sconosciute nei triangoli. Fu scoperto dai pitagorici ed è una delle basi fondamentali della geometria.

Simmetrie nel piano

Con il passaggio dalla geometria euclidea alla geometria analitica, alcuni concetti cambiano. Lo spazio diventa un contenitore vuoto, i punti sono considerati posizioni e le figure diventano luoghi geometrici. Nasce così l’idea di spostare le figure nel piano utilizzando delle simmetrie.

Le principali simmetrie sono:

• Traslazione
• Rotazione
• Riflessione
• Simmetria centrale

Infine, esistono le similitudini, che possono essere classificate come: compressione e dilatazione.

I numeri razionali

L’insieme dei numeri razionali è formato da tutte le classi di equivalenza di frazioni equivalenti tra loro. Due frazioni a/b e c/d sono equivalenti se a · d = c · b.

In questo insieme sono possibili le quattro operazioni fondamentali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Quest’ultima è possibile grazie al numero razionale, che può essere rappresentato in due modi:

1. In modo unico usando il sistema decimale (numeri con la virgola).
2. In modo infinito mediante frazioni, cioè coppie ordinate di interi a e b, scritti come a/b, dove a è il numeratore e b il denominatore.

Questa rappresentazione multipla è dovuta all’esistenza di frazioni equivalenti.