Fondamenti del Potenziale in Meccanica Analitica: Lavoro Virtuale e Sollecitazioni Conservative

Generalizzazione del Concetto di Potenziale Classico

(...e la rotazione infinitesima del corpo rigido a cui la j-esima coppia $C_j$ è applicata).

Un primo esempio di tale generalizzazione del concetto di potenziale si ha considerando due punti liberi $A$ e $B$ collegati da una molla di costante elastica $k$. Le due forze elastiche scambiate tra $A$ e $B$ non sono singolarmente conservative, ma se si considera il loro lavoro infinitesimo complessivo, esso è il differenziale della funzione $U = -(1/2) k \cdot (\text{lunghezza } AB)^2$, che è il potenziale della molla.

Un secondo esempio è quello di una coppia applicata ad un corpo rigido piano che si muove in un piano, di normale $\mathbf{k}$. Se $C = C(\theta) \mathbf{k}$ è il momento della coppia e $\delta\vec{\theta} = d\theta \mathbf{k}$ è il vettore rotazione infinitesima del corpo, il lavoro infinitesimo della coppia è $\delta^* L = C \cdot \delta\vec{\theta} = C(\theta) d\theta$. Per cui la coppia è conservativa secondo la definizione ora introdotta, con potenziale:

$$U(\theta) = \int_{\theta_0}^{\theta} C(\xi) d\xi \quad (9.4)$$

In particolare, per una coppia di momento costante $C_0$ si ha $U = C_0 \theta$. Per una coppia elastica di momento $C = -\alpha \theta$ si ha $U = -(1/2) \alpha \theta^2$ (in entrambi i casi, a meno di inessenziali costanti additive).

Potenziale in Meccanica Analitica: Lavoro Virtuale

Utilizzando i metodi della Meccanica Analitica è utile introdurre una ulteriore generalizzazione del concetto di potenziale, essenzialmente basata sul fatto che si considera ora il lavoro virtuale e non più il lavoro corrispondente a spostamenti effettivi.

Definizione di Sollecitazione Conservativa in Sistemi Olonomi

Senza analizzare il caso di un singolo campo di forze, consideriamo direttamente un generico sistema olonomo, con $n$ gradi di libertà e con vincoli bilateri, eventualmente mobili. Per ogni punto $P_i$ del sistema si ha allora $P_i = P_i(q; t)$, dove $q := (q_1, \dots, q_n)$ sono le coordinate libere del sistema. Supponiamo che sui punti agiscano delle forze $F_i$ dipendenti dalla configurazione del sistema ed eventualmente dal tempo: $F_i = F_i(q; t)$ (non si richiede quindi che si tratti di una sollecitazione posizionale).

In queste ipotesi, le componenti della sollecitazione attiva del sistema (cioè i coefficienti $Q_k$ nell'espressione del lavoro virtuale $\delta^* L = \sum_k Q_k \delta q_k$) risultano genericamente dipendere dalle coordinate e dal tempo, per cui:

$$\delta^* L = \sum_{i=1}^{N} F_i(q, t) \cdot \delta P_i = Q(q, t) \cdot \delta q \quad (9.5)$$

Generalizzando la precedente definizione di potenziale, diremo allora che la sollecitazione attiva applicata al sistema è complessivamente conservativa, con potenziale $U$, se il lavoro virtuale è il differenziale virtuale (cioè rispetto alle sole coordinate $q$) di una funzione $U = U(q, t)$:

$$\delta^* L(q, t) = \delta U(q, t)$$

ovvero:

$$Q_k(q, t) = \frac{\partial U(q, t)}{\partial q_k} \quad (k = 1, \dots, n) \quad (9.6)$$

È questo il potenziale che entra nella scrittura delle Equazioni di Lagrange in forma conservativa, con Lagrangiana $L = T + U$.

Esempio Applicativo: Punto Materiale Vincolato con Molla Dipendente dal Tempo

Come esempio, consideriamo in un riferimento cartesiano $(O; x, y)$ un punto materiale $A$ vincolato con vincolo bilatero all'asse $x$, la cui posizione è data da: $\vec{A} - \vec{O} = x \mathbf{i}$.

Supponiamo che $A$ sia collegato, tramite una molla di costante $k$, all'estremo $B$ di un'asta $OB$, di lunghezza $l$, incernierata in $O$ e ruotante nel piano con legge di moto assegnata $\theta = \theta(t)$, essendo $\theta$ l'angolo che l'asta forma con l'asse $x$.

Considerando come sistema meccanico il solo punto $A$, si tratta allora di un sistema con un grado di libertà e vincolo fisso e bilatero (l'asse $x$), soggetto alla forza elastica esercitata dalla molla, che è una forza dipendente dal tempo:

$$\vec{F} = -k (\vec{A} - \vec{B}) \implies F_x = -k(x - l \cos \theta(t)); \quad F_y = k l \sin \theta(t)$$

Essendo lo spostamento virtuale del punto $A$ dato da $\delta \vec{A} = \delta x \mathbf{i}$, il lavoro virtuale della forza è:

$$\delta^* L = \vec{F} \cdot \delta \vec{A} = F_x \delta x = -k(x - l \cos \theta(t)) \delta x$$

Quindi il coefficiente generalizzato è $Q_x(x, t) = -k(x - l \cos \theta(t))$.

Osserviamo che:

$$Q_x = -k(x - l \cos \theta(t)) = \frac{\partial}{\partial x} \left( (-\frac{1}{2}) k (x - l \cos \theta(t))^2 \right)$$

Pertanto la forza $\vec{F}$, dipendente dal tempo, ammette potenziale nel senso della precedente definizione (9.6), con:

$$U(x, t) = (-\frac{1}{2})k(x - l \cos \theta(t))^2 \quad (9.7)$$

Tale risultato può scriversi in una forma più semplice osservando che, come ogni potenziale dipendente solo dalle coordinate $q$ è definito a meno di costanti additive (cioè di quantità che hanno derivata nulla rispetto alle coordinate), così il potenziale dipendente dal tempo non cambia sommando ad esso arbitrarie funzioni del tempo. Aggiungendo all'espressione (9.7) la funzione $-(1/2)k(l \sin \theta(t))^2$ otteniamo allora:

$$U(x, t) = (-\frac{1}{2} k) \left( (x - l \cos \theta(t))^2 + (l \sin \theta(t))^2 \right) = (-\frac{1}{2} k) (\text{lunghezza } AB)^2 \quad (9.8)$$

Pertanto ritroviamo, in questo esempio, un risultato generale, utile nelle applicazioni: nello studio della meccanica di un generico sistema (ad esempio nello scrivere le equazioni di Lagrange), ad una molla di costante $k$, di estremi $A$ e $B$, possiamo sempre associare il potenziale $U = -(1/2) k (\text{lunghezza } AB)^2$. Tale potenziale può dipendere dal tempo se il moto di un estremo della molla è assegnato, mentre dipende solo dalle coordinate se gli estremi sono liberi o se più in particolare un estremo è fisso.

Ulteriore Generalizzazione del Potenziale (Forze Dipendenti dalla Velocità)

Osservazione. Accenniamo ad una ulteriore possibile generalizzazione della nozione di potenziale, che consente di scrivere le equazioni di Lagrange in forma conservativa in presenza di particolari campi di forze dipendenti, oltre che dalle coordinate $q$ e dal tempo $t$, anche (linearmente) dalle velocità $q̇$.

A tal fine, se $Q = Q(q, q̇, t)$ è la sollecitazione attiva, è facile verificare che se esiste una funzione $U = U(q, q̇, t)$ tale che:

$$Q = \frac{\partial U}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial U}{\partial q̇} \right) \quad (9.9)$$

allora le equazioni di Lagrange ammettono la usuale formulazione conservativa in termini di una funzione Lagrangiana $L := T + U$. Anche in tal caso, diremo che la sollecitazione attiva con la proprietà (9.9) è conservativa con potenziale $U$. Sollecitazioni di tale tipo si incontrano ad esempio in meccanica relativa (forza di Coriolis) e in elettromagnetismo (forza di Lorentz).