Fondamenti di Statica: Vettori, Momenti e Equipollenza nel Corpo Rigido

Fondamenti di Statica: Forze Applicate al Corpo Rigido

Definizione di Sollecitazione e Invarianti

Dato un qualunque sistema meccanico, per ora non necessariamente rigido, indichiamo con $S$ una sollecitazione ad esso applicata, data da un insieme $(F_i; P_i)$ di forze $F_i$ con punti di applicazione $P_i$.

Risultante e Momento di una Sollecitazione

Il risultante e il momento della sollecitazione sono i vettori:

$$R := \sum_{i=1}^{n} F_i$$ $$M_A := \sum_{i=1}^{n} (P_i - A) \wedge F_i \quad (4.1)$$

essendo $A$ un punto generico. Da tali definizioni segue poi che per il momento sussiste la formula di trasporto al variare del polo:

$$M_B = M_A + (A - B) \wedge R \quad (4.2)$$

In particolare, se una sollecitazione ha risultante nullo, il momento è quindi indipendente dal polo.

Invariante Scalare della Sollecitazione

Moltiplicando scalarmente ambo i membri della (4.2) per $R$ segue che il prodotto scalare di risultante e momento è uguale per tutti i punti, per cui introduciamo l'invariante scalare della sollecitazione:

$$I := R \cdot M \quad (4.3)$$

Se esiste un punto rispetto a cui il momento si annulla, deve essere $I = 0$ e, viceversa, se $I$ non è nullo ($I \neq 0$) non può esistere alcun punto rispetto a cui il momento si annulla.

Operazioni Invariantive e Postulato del Cursore

Poiché la forza è un vettore applicato, ovvero è una grandezza caratterizzata da un vettore $F$ e da un punto di applicazione, l'equilibrio e il moto di qualunque sistema non sono alterati se:

1. Più forze applicate nello stesso punto sono sostituite dalla loro somma vettoriale o, viceversa, se una forza $F$ applicata in un punto viene sostituita con più forze, applicate nello stesso punto, aventi $F$ come loro somma (prima operazione invariantiva, o di composizione).

Sollecitazioni sul Corpo Rigido (C.R.)

Nel caso del c.r., si postula per le forze la seguente ulteriore proprietà. Data una forza $F$ applicata in un punto, definiamo retta di applicazione della forza la retta passante per il punto ed avente la direzione di $F$. Si postula allora che l'equilibrio ed il moto del c.r. rimangano inalterati se:

2. Una forza $F$ viene sostituita da una forza data ancora dal vettore $F$, ma applicata in un diverso punto della retta di applicazione, cioè, intuitivamente, se si fa scorrere la forza lungo la sua retta di applicazione (seconda operazione invariantiva, o di scorrimento).

Queste considerazioni si riassumono nel seguente postulato.

Postulato: La Forza come Cursore

La forza applicata ad un c.r. è una grandezza descritta da un vettore e da una retta di applicazione, ovvero la forza è un cursore.

Osservazione: A rigore, un vettore applicato ed un cursore andrebbero indicati rispettivamente con le coppie ordinate $(F; P)$ e $(F; r)$, essendo $F$ il vettore, $P$ e $r$ il punto e la retta di applicazione; per maggior semplicità di scrittura, continueremo, quando chiaro dal contesto, ad indicare la forza sul corpo rigido con la sola parte vettoriale $F$, precisando a parole punto o retta di applicazione.

Equipollenza di Sollecitazioni

Definizione 4.1: Equipollenza

Una sollecitazione $S = (F_i; r_i)$ è equipollente ad una sollecitazione $S' = (F'_i; r'_i)$, denotata $S \sim S'$, se le forze di $S$ si possono trasformare in quelle di $S'$ con una successione di operazioni invariantive.

Osservazione: Dalla definizione segue immediatamente che $S \sim S$, $S \sim S'$ implica $S' \sim S$, e infine che $S \sim S'$ e $S' \sim S''$ implica $S \sim S''$ (proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva). L'equipollenza di sollecitazioni gode quindi della proprietà di equivalenza, per cui in seguito parleremo direttamente di sollecitazioni equivalenti.

L'importanza di tale definizione è evidente: se $S \sim S'$, possiamo dedurre qualunque informazione sull'equilibrio o sul moto del c.r. utilizzando le forze della sollecitazione $S'$ invece che quelle di $S$, se tale sostituzione semplifica l'analisi del problema in esame (come vedremo, questa è ad esempio la ragione per cui per un c.r. si può parlare di un'unica forza peso, applicata in un punto opportuno, piuttosto che del sistema di forze peso distribuite nel c.r.).

La Coppia di Forze e le Sue Proprietà

Definizione: Coppia di Forze

Una coppia di forze è una sollecitazione costituita da due forze $(F; A)$ e $(-F; B)$ uguali ed opposte, senza la stessa retta di applicazione.

Per quanto detto, una coppia di forze, che indicheremo con $C(F; A; B)$, è quindi una sollecitazione con $R = 0$ e $M = (A - B) \wedge F$ indipendente dal polo, in base alla (4.2); utilizzando la seconda operazione invariantiva, possiamo poi scegliere $A$ e $B$ in modo che il vettore $(A - B)$ sia ortogonale alla direzione di $F$.

La distanza $b$ delle rette di applicazione delle due forze costituenti la coppia si dice il braccio della coppia, il piano individuato dalle due rette di applicazione, ortogonale al momento $M$, è detto il piano della coppia; si ha ovviamente $M = F \cdot b$.

Proprietà Fondamentali delle Sollecitazioni sul C.R.

Due importanti proprietà delle sollecitazioni sul c.r., che seguono dall'introduzione della nozione di coppia di forze, sono le seguenti:

1. Regola di Trasporto: La sollecitazione costituita da una forza $(F; A)$ applicata in $A$ è equivalente alla sollecitazione data da una forza $(F; B)$ applicata in un punto $B$ non appartenente alla retta di applicazione di $(F; A)$ e ad una coppia $C(F; A; B)$ di momento $M = (A - B) \wedge F$ (basta aggiungere in $B$ il sistema nullo costituito dalle forze $(F; B)$ e $(-F; B)$); questa è la "regola di trasporto" di una forza sul c.r. da un punto ad un altro punto esterno alla sua retta di applicazione.

2. Composizione di Coppie: Consideriamo due coppie di forze:

   • $C(F; A; B)$ con $M = (A - B) \wedge F$
   • $C'(F'; A'; B')$ con $M' = (A' - B') \wedge F'$

   La sollecitazione costituita dalle quattro forze ha evidentemente risultante nullo, e momento indipendente dal polo dato da $M'' = M + M'$.

   Vale il seguente risultato.