Formulario Essenziale di Cinematica: Moto Rettilineo, Parabolico e Circolare

Cinematica: Concetti e Formule

Vettore Posizione e Spostamento

Vettore posizione: r = xi + yj

• Coordinate cartesiane: x, y
• Coordinate polari: r, θ
• Conversioni:
  • x = r cos(θ)
  • y = r sin(θ)
  • r = √(x² + y²)
  • tan(θ) = y / x

Spostamento: Δr = r_finale - r_iniziale

Velocità

Velocità media: v_media = Δr / Δt

Velocità istantanea: v = dr / dt

Accelerazione

Accelerazione media: a_media = Δv / Δt

Accelerazione istantanea: a = dv / dt

Moto Rettilineo

Moto Rettilineo Uniforme (MRU)

Caratterizzato da velocità costante (a = 0).

• Velocità: v = Δx / Δt = costante
• Legge oraria: x = x₀ + vt

Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato (MRUA)

Caratterizzato da accelerazione costante (a = costante).

• Velocità: v = v₀ + at
• Legge oraria: x = x₀ + v₀t + (1/2)at²
• Relazione velocità-spostamento: v² - v₀² = 2aΔx (dove Δx = x - x₀)
• Velocità media (in MRUA): v_media = (v₀ + v) / 2

Moti nel Campo Gravitazionale (approssimazione g costante)

Convenzione: Asse y verticale orientato verso l'alto, origine al suolo o al punto di lancio se non specificato. Accelerazione di gravità g diretta verso il basso (a_y = -g).

Caduta Libera

Corpo lasciato cadere da fermo da un'altezza y₀ (v₀ = 0).

• Velocità: v_y = -gt
• Posizione (altezza): y = y₀ - (1/2)gt²

Se lasciato cadere da y₀=h e l'origine è nel punto di partenza con asse y verso il basso:

• Velocità: v_y = gt
• Posizione: y = (1/2)gt²

Lancio Verticale Verso l'Alto

Corpo lanciato da y₀ con velocità iniziale v₀.

• Velocità: v_y = v₀ - gt
• Posizione (altezza): y = y₀ + v₀t - (1/2)gt²
• Altezza massima (raggiunta quando v_y = 0):
  • Tempo di salita: t_salita = v₀ / g
  • Altezza massima (rispetto a y₀): y_max = v₀² / (2g)
• Tempo di volo (se y_finale = y₀): t_volo = 2v₀ / g

Lancio Orizzontale

Corpo lanciato da un'altezza y₀ con velocità iniziale orizzontale v_0x (v_0y = 0).

• Componente orizzontale (MRU):
  • v_x = v_0x = costante
  • x = v_0xt
• Componente verticale (Caduta libera / MRUA):
  • v_y = -gt
  • y = y₀ - (1/2)gt²
• Vettore posizione: r = (v_0xt)i + (y₀ - (1/2)gt²)j
• Vettore velocità: v = v_0xi - gtj
• Modulo della velocità: v = √(v_x² + v_y²) = √(v_0x² + (-gt)²)

Moto Parabolico (Lancio Obliquo)

Corpo lanciato da y₀ (spesso 0) con velocità iniziale v₀ formante un angolo θ con l'orizzontale.

• Componenti della velocità iniziale:
  • v_0x = v₀ cos(θ)
  • v_0y = v₀ sin(θ)
• Componente orizzontale (MRU):
  • v_x = v_0x = costante
  • x = v_0xt = (v₀ cos(θ))t
• Componente verticale (Lancio verticale / MRUA):
  • v_y = v_0y - gt = v₀ sin(θ) - gt
  • y = y₀ + v_0yt - (1/2)gt² = y₀ + (v₀ sin(θ))t - (1/2)gt²
• Vettore posizione: r = xi + yj
• Vettore velocità: v = v_xi + v_yj
• Altezza massima (raggiunta quando v_y = 0, assumendo y₀=0):
  • Tempo per raggiungere l'altezza massima: t_salita = v_0y / g = v₀ sin(θ) / g
  • Altezza massima: H = y_max = v_0y² / (2g) = (v₀ sin(θ))² / (2g)
• Gittata (distanza orizzontale percorsa quando y torna a y₀, assumendo y₀=0):
  • Tempo di volo: t_volo = 2t_salita = 2v_0y / g = 2v₀ sin(θ) / g
  • Gittata: R = x(t_volo) = v_0x * t_volo = (v₀² sin(2θ)) / g

Sovrapposizione di Moti

Il moto risultante può essere visto come la somma vettoriale dei moti componenti.

• Spostamento: Δr = Δxi + Δyj
• Velocità: v = v_xi + v_yj
• Se i moti componenti sono uniformi: x = v_xt, y = v_yt

Moto Circolare

Moto Circolare Uniforme (MCU)

Caratterizzato da modulo della velocità costante e velocità angolare costante.

• Velocità angolare: ω = Δθ / Δt = costante (rad/s)
• Velocità tangenziale: v = Δs / Δt = ωr = costante (m/s)
• Posizione angolare: θ = θ₀ ± ωt
• Periodo (tempo per un giro): T = 2π / ω = 2πr / v
• Frequenza (giri al secondo): f = 1 / T = ω / 2π (Hz)
• Relazioni utili: ω = 2πf, v = 2πrf
• Accelerazione centripeta (diretta verso il centro): a_c = v² / r = ω²r = (2π / T)²r

Moto Circolare Uniformemente Accelerato (MCUA)

Caratterizzato da accelerazione angolare costante.

• Accelerazione angolare: α = Δω / Δt = costante (rad/s²)
• Velocità angolare: ω = ω₀ + αt
• Posizione angolare: θ = θ₀ + ω₀t + (1/2)αt²
• Accelerazione tangenziale: a_t = αr
• Accelerazione totale: a = a_c + a_t (somma vettoriale)