Leggi di Keplero: Spiegazione del Moto Planetario e Formule

I Legge di Keplero: La Legge delle Orbite

La traiettoria di un pianeta è un'ellisse in cui il Sole occupa uno dei due fuochi. I pianeti seguono orbite ellittiche con il Sole in uno dei due fuochi dell'ellisse. L'eccentricità e è definita come 0 ≤ e < 1: più il valore è vicino a 0, più l'orbita è simile a una circonferenza; più è vicino a 1, più l'ellisse è schiacciata.

II Legge di Keplero: La Legge delle Aree

Tracciando una linea dal Sole alla posizione del pianeta in un dato istante e una seconda linea dopo un certo intervallo di tempo (ad esempio un mese), il pianeta descrive un'area a forma di cuneo (settore ellittico). La legge afferma che: “Un pianeta, muovendosi sulla sua orbita ellittica, spazza aree uguali in tempi uguali”.

• Perielio: Quando il pianeta è più vicino al Sole, la sua velocità è maggiore e l'area spazzata è larga e corta.
• Afelio: Quando il pianeta è più lontano dal Sole, si muove più lentamente e l'area spazzata è lunga e stretta.

Le due aree risultano identiche. Relazione: v = s / t.

III Legge di Keplero: La Legge dei Periodi

Questa legge mette in relazione la distanza media r di un pianeta dal Sole con il suo periodo di rivoluzione T. Dopo aver analizzato i dati, Keplero intuì che il periodo T è proporzionale alla distanza media r elevata a 3/2: T = k · r^(3/2).

Da ciò deriva che il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo della distanza media:

T² = k · r³

Dove la costante k è definita come: k = 4π² / (GM), con G (costante di gravitazione universale) pari a 6,67 × 10⁻¹¹ Nm²/kg².

Dimostrazione (Approssimazione con orbita circolare)

• Velocità orbitale: v = 2πr / T → v² = 4π²r² / T²
• Accelerazione centripeta: a = v² / r = 4π²r / T²
• Forza gravitazionale: F = ma

Uguagliando la forza gravitazionale alla forza centripeta:

G · (mM / r²) = m · (4π²r / T²)

Semplificando, otteniamo la relazione finale:

T² = (4π² / GM) · r³

Ulteriori relazioni fisiche

• Velocità orbitale: v = √(GM / r)
• Energia potenziale gravitazionale: U = -G · (mM / r)
• Lavoro: L = ΔU
• Massa del corpo centrale: M = (4π²r³) / (G · T²)