Limite Notevole del Seno e Teoria del Confronto tra Infinitesimi e Infiniti

Classificato in Matematica

Scritto il 16 Gennaio 2026 in italiano con una dimensione di 8,99 KB

Dimostrazione del Limite Notevole: $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x} = 1$

$\frac{\text{sen } x}{x} \to 1$ per $x \to 0$

Date due funzioni $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = \text{sen } x$ e $g(x) = x$ e il punto $x_0 = 0$, $f$ e $g$ sono infinitesimi dello stesso ordine per $x \to 0$. Infatti, notiamo dalle seguenti disequazioni:

$$0 < \text{sen } x < x < \tan x \quad \text{per} \quad 0 < x < \pi/4$$

$$0 > \text{sen } x > x > \tan x \quad \text{per} \quad -\pi/4 < x < 0$$

La lunghezza dell’arco sotteso da un angolo di ampiezza $x$ in un cerchio di raggio $r$ è: $ℓ(\text{arco } \hat{x}) = x \cdot r$, mentre l’area sottesa dall’arco, chiamato “settore circolare di ampiezza x”, in una circonferenza di raggio $r$ è: $\text{area}(\text{settore circolare } \hat{x}) = \frac{x \cdot r^2}{2}$.

Osservazioni Geometriche

Dalle osservazioni precedenti possiamo dire che:

La lunghezza dell’arco ampio $2x$ è $2x$, mentre la lunghezza della corda che congiunge $P$ e $P’$ è $2\text{sen } x$, ma essendo $\le$ della lunghezza dell’arco $PP’$, si ha $2\text{sen } x \le 2x \implies \text{sen } x \le x$.
L’area del settore angolare di ampiezza $x$ è $\frac{x \cdot 1^2}{2} \le$ dell’area del triangolo di vertici $(1,0); (0,0); (1, \tan x)$, quindi: $x/2 \le \tan x/2 \implies x \le \tan x$ per $x \in (0, \pi/4)$.

Ora abbiamo dimostrato che $0 < \text{sen } x < x < \tan x$ (prima catena di disequazioni):

Dividiamo tutto per $\text{sen } x$: $0 < 1 < \frac{x}{\text{sen } x} < \frac{1}{\cos x}$.
Facciamo il reciproco cambiando i versi: $0 < 1 > \frac{\text{sen } x}{x} > \cos x$.
Ora, poiché il limite per $x \to x_0$ del $\cos x$ è $1$, si ha: $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen } x}{x} = 1$ (per il Teorema dei Carabinieri).

Per simmetria si ottiene la dimostrazione anche della seconda catena di disequazioni:

$$\cos x < \frac{\text{sen } x}{x} < 1 \quad \text{per} \quad x \in (-\pi/4, \pi/4) - \{x_0\}$$

$\text{sen } x / x \to 1$ per $x \to 0$

Date 2 funzioni $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x) = \text{sen } x$ e $g(x) = x$ e il punto $x_0 = 0$, $f$ e $g$ sono infinitesimi dello stesso ordine per $x \to 0$. Infatti, notiamo dalle seguenti disequazioni:

$0 < \text{sen } x < x < \tan x$ per $0 < x < \pi/4$ e $0 > \text{sen } x > x > \tan x$ per $-\pi/4 < x < 0$

La lunghezza dell’arco sotteso da un angolo di ampiezza $x$ in un cerchio di raggio $r$ è: $ℓ(\text{arco } \hat{x}) = x \cdot r$, mentre l’area sottesa dall’arco, chiamato “settore circolare di ampiezza $x$”, in una circonferenza di raggio $r$ è: $\text{area}(\text{settore circolare } \hat{x}) = x \cdot r^2 / 2$

Dalle osservazioni precedenti possiamo dire che:

La lunghezza dell’arco ampio $2x$ è $2x$, mentre la lunghezza della corda che congiunge $P$ e $P’$ è $2\text{sen } x$ ma $\le$ lunghezza dell’arco $PP’$ quindi $2\text{sen } x \le 2x \implies \text{sen } x \le x$
L’area del settore angolare di ampiezza $x$ è $x \cdot 1^2 / 2 \le$ dell’area del triangolo di vertici $(1,0); (0,0); (1, \tan x)$ quindi: $x/2 \le \tan x/2 \implies x \le \tan x$ per $x \in (0, \pi/4)$

Ora abbiamo dimostrato che $0 < \text{sen } x < x < \tan x$ (prima catena di disequazioni)

Dividiamo tutto per $\text{sen } x$: $0 < 1 < x / \text{sen } x < 1 / \cos x$
Facciamo il reciproco cambiando i segni: $0 > 1 > \text{sen } x / x > \cos x$
Ora il limite per $x \to x_0$ del $\cos x$ dà $1$, quindi: $\lim_{x \to 0} \text{sen } x / x = 1$ (per il teorema dei carabinieri)

Per simmetria si ottiene la dimostrazione anche della seconda catena di disequazioni:

$\cos x < \text{sen } x / x < 1$ per $x \in (-\pi/4, \pi/4) - \{x_0\}$

Confronto di Infinitesimi - Teorema

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Data $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in D(A)$ ($x_0$ può essere anche $+\infty$ se $A$ non è limitato superiormente oppure $-\infty$ se $A$ non è limitato inferiormente). Date 2 funzioni $f, g: A \to \mathbb{R}$ infinitesime per $x \to x_0$, quindi:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$$

Diremo che $f$ e $g$ sono infinitesimi dello stesso ordine per $x \to x_0$ se:

$\exists K \neq 0 (K \in \mathbb{R}) \quad \exists \delta > 0$ e $h = I_{\delta}(x_0) \cap A \to$ con $h = D(1)$ per $x \to x_0$ tale che $f(x) = g(x)(K + h(x)) \quad \forall x \in I_{\delta}(x_0) \cap A$.

Invece diremo che $f$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$ per $x \to x_0$ se:

$\exists \delta > 0, h = I_{\delta}(x_0) \cap A \to$ con $h = D(1)$ per $x \to x_0$ tale che $f(x) = g(x)h(x) \quad \forall x \in I_{\delta}(x_0) \cap A$ e scriveremo $f = o(g)$.

In conclusione, se $g \neq 0$:

$f$ e $g$ infinitesimi dello stesso ordine $\iff \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = K \neq 0$
$f = o(g)$ per $x \to x_0 \iff \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

Confronto di Infiniti – Teorema

Data $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in D(A)$ ($x_0$ può essere anche $+\infty$ se $A$ non è limitato superiormente oppure $-\infty$ se $A$ non è limitato inferiormente) osserviamo che:

Se $f$ diverge positivamente o negativamente per $x \to x_0 \implies f(x) \neq 0$ in un intorno $V(x_0)$ e quindi la funzione $1/f(x)$ in un intorno $(V(x_0) \cap A) - \{x_0\}$ è definita.
$|f(x)|$ diverge positivamente per $x \to x_0 \iff 1/f(x)$ è infinitesima per $x \to x_0$.

-4

Confronto di Infinitesimi - Teorema (Ripetizione)

$\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ diremo che $f$ e $g$ sono infinitesimi dello stesso ordine per $x \to x_0$ se:

Invece diremo che $f$ è infinitesimo di ordine superiore rispetto a $g$ per $x \to x_0$ se:

$\exists \delta > 0, h = I_{\delta}(x_0) \cap A \to$ con $h = D(1)$ per $x \to x_0$ tale che $f(x) = g(x)h(x) \quad \forall x \in I_{\delta}(x_0) \cap A$ e scriveremo $f = o(g)$.

In conclusione, se $g \neq 0$:

$f$ e $g$ infinitesimi dello stesso ordine $\iff \lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = K \neq 0$
$f = o(g)$ per $x \to x_0 \iff \lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = 0$

Confronto di Infiniti – Teorema (Ripetizione)

Data $A \subseteq \mathbb{R}$ e $x_0 \in D(A)$ ($x_0$ può essere anche $+\infty$ se $A$ non è limitato superiormente oppure $-\infty$ se $A$ non è limitato inferiormente) osserviamo che:

Se $f$ diverge positivamente o negativamente per $x \to x_0 \implies f(x) \neq 0$ in un intorno $V(x_0)$ e quindi la funzione $1/f(x)$ in un intorno $(V(x_0) \cap A) - \{x_0\}$ è definita.
$|f(x)|$ diverge positivamente per $x \to x_0 \iff 1/f(x)$ è infinitesima per $x \to x_0$.

Date ora 2 funzioni $f, g: A \to \mathbb{R}$ e $x_0 \in D(A)$ ($x_0$ può essere anche $+\infty$ se $A$ non è limitato superiormente oppure $-\infty$ se $A$ non è limitato inferiormente) se si suppone che le 2 funzioni $f, g$ sono divergenti per $x \to x_0$, allora il rapporto $f(x)/g(x)$ è definito in un intorno $(V(x_0) \cap A) - \{x_0\}$, diremo che:

$f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine per $x \to x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = K \neq 0, K \in \mathbb{R}$
$g$ è infinito di ordine superiore rispetto a $f$ se $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = 0$
$g$ e $f$ sono infiniti non confrontabili se $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x)$ non esiste

$f$ e $g$ sono infiniti dello stesso ordine per $x \to x_0$ se $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = K \neq 0, K \in \mathbb{R}$
$g$ è infinito di ordine superiore rispetto a $f$ se $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x) = 0$
$g$ e $f$ sono infiniti non confrontabili se $\lim_{x \to x_0} f(x)/g(x)$ non esiste

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