Límites de una función: definición, ejemplos y casos

Límites de una función

Límite finito para x que tiende a x₀

La función f(x) tiene por límite el número real l, para x que tiende a x₀, cuando, comunque se elija un número real positivo ε, se puede determinar un intorno de x₀;

Límite +∞ para x que tiende a x₀

Sea f(x) una función definida en un intervalo [a; b] y no definida en x₀ interno a [a;b]; f(x) tiende a + ∞ para x que tiende a x₀ cuando para cada número real positivo M se puede determinar un entorno completo I de x₀;

Límite -∞ para x que tiende a x₀

Sea f(x) una función definida en un intervalo [a; b] y no definida en x₀ interno a [a; b]; f(x) tiende a - ∞ para x que tiende a x₀ cuando para cada número real positivo M se puede determinar un entorno completo I de x₀;

Límite +∞ de una función para x que tiende a +∞

Una función f(x), definida en un intervalo ilimitado a la derecha, tiene por límite + ∞ para x que tiende a + ∞ cuando para cada número real positivo M se puede determinar un entorno I de + ∞;

Límite +∞ de una función para x que tiende a -∞

Una función f(x), definida en un intervalo ilimitado a la izquierda, tiene por límite +∞ para x que tiende a - ∞ cuando para cada número real positivo M se puede determinar un entorno I de - ∞;

Límite -∞ de una función para x que tiende a +∞

Una función f(x), definida en un intervalo ilimitado a la derecha, tiene por límite - ∞ para x que tiende a + ∞ cuando para cada número real positivo M se puede determinar un entorno I de + ∞ tal que f(x)

.

Casos de límite posibles

1 / ∞ = 0

∞ / 0 = ∞

1/0 = ∞

0 / ∞ = 0

Límite finito de una función para x que tiende a +∞

Una función f(x), definida en un intervalo ilimitado a la derecha, tiende al número real l para x que tiende a + ∞ cuando, para cada ε > 0 fijado,

se puede determinar un entorno I de + ∞;

Límite finito de una función para x que tiende a - ∞

Una función f(x), definida en un intervalo ilimitado a la izquierda, tiende al número real l para x que tiende a - ∞ si, para cada ε > 0 fijado, es posible encontrar un entorno I de - ∞;

Asíntotas

Asíntotas verticales

Dada la función y = f(x), si

lim f(x) x→x₀ = +∞, o -∞, o ∞, la recta x = x₀ es asíntota vertical para el gráfico de la función.

Asíntotas horizontales

Dada la función y =f(x), si se verifica una de las condiciones lim f(x) x→+ ∞ = q / lim f(x) x→- ∞ / lim f(x) x→ ∞ = q

la recta y = q es asíntota horizontal para el gráfico de la función.

Límite -∞ de una función para x que tiende a - ∞

Una función f(x), definida en un intervalo ilimitado a la izquierda, tiene por límite - ∞ para x que tiende a - ∞ cuando para cada número real positivo M se puede determinar un entorno I de - ∞ tal que f(x)

Funciones continuas

Sean f(x) una función definida en un intervalo [a; b] y x₀ un punto interno al intervalo. La función f(x) es continua en el punto x₀ cuando existe el límite de f(x) para x → x₀ y tal límite es igual al valor f(x₀) de la función calculada en x₀:

lim f(x) x→x₀ = f(x₀).

Una función f(x) es por lo tanto continua en x₀ si:

• está definida en x₀, es decir, existe f(x₀);
• existe finito lim f(x);
• el valor del límite es igual a f(x₀).