Matematica per l'Economia: Funzioni, Ottimizzazione e Ricerca Operativa

Concetti Fondamentali di Matematica per l'Economia

1. Funzione di Due Variabili

Una funzione di due variabili reali è una relazione che associa a ogni coppia ordinata di numeri reali (x;y) appartenenti a un sottoinsieme S di R², uno e un solo numero reale z.

Si esprime come: z = f(x;y) oppure f(x;y) → z, con (x;y) ∈ S ⊆ R² e z ∈ R.

2. Funzioni in Economia

La funzione f(x;y) può essere collegata all'economia tramite le funzioni relative a due beni in regime di concorrenza perfetta.

3. Disequazioni Lineari in Due Incognite

Le disequazioni lineari in due incognite, del tipo ax + by + c > 0, si risolvono esplicitando la y al primo membro. A ogni disequazione è associata la corrispondente equazione, la cui soluzione grafica rappresenta una retta. L'equazione cartesiana implicita della retta è ax + by + c = 0.

La rappresentazione grafica dell'insieme delle soluzioni avviene:

• Realizzando una tabella x|y.
• Verificando con il metodo del punto di prova se le coordinate di un punto soddisfano la disequazione, cioè se il punto di prova appartiene al semi-piano o viceversa.

4. Disequazioni Non Lineari in Due Incognite

Si risolvono esplicitando la y al primo membro. È bene rammentare che ad ogni disequazione è associata una corrispondente equazione, le cui soluzioni grafiche potrebbero rappresentare una conica.

5. Dominio di una Funzione

Il dominio di una funzione è l'insieme dei punti (x;y) per cui la funzione è definita.

Esempio: Per z = n/d, il dominio è R², ma se il denominatore d ≠ 0, allora xy ≠ 0. In questo caso, il dominio è A = {(x;y) ∈ R² : xy ≠ 0}.

6. Derivata Parziale

È il tasso di cambiamento di una funzione rispetto a una variabile, ovvero la misura di quanto la funzione cambi al variare del suo argomento, mantenendo costanti le altre variabili.

7. Massimi, Minimi e Punti di Sella

Per determinare la natura dei punti critici di una funzione di due variabili, si utilizza il test dell'Hessiano (H) e della derivata seconda rispetto a x (fxx):

• Se il risultato di H > 0 e fxx < 0, avremo un punto di massimo relativo.
• Se H > 0 e fxx > 0, avremo un punto di minimo relativo.
• Se H < 0, il punto è di sella.
• Se H = 0, nulla si può dire (il test è inconclusivo).

8. Combinazione Ottima dei Fattori di Produzione

Rappresenta l'utilizzo dei fattori produttivi (terra, lavoro e capitale) da parte delle imprese in maniera ottimale, al fine di massimizzare il profitto o minimizzare i costi.

9. Funzione di Produzione Cobb-Douglas

È una delle funzioni più usate per ottenere il massimo profitto utilizzando i fattori di produzione in modo ottimale:

Q = A * K^α * L^β con 0 < α < 1 e 0 < β < 1.

Dove Q è la quantità di un bene prodotto, K è il capitale, L è il lavoro e A è un coefficiente numerico positivo.

Ricerca Operativa: Strumenti e Applicazioni

10. Ricerca Operativa (RO)

La Ricerca Operativa fornisce strumenti matematici di supporto alle attività decisionali, in cui occorre gestire e coordinare attività e risorse limitate al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo.

11. Fasi della Ricerca Operativa

Le fasi principali della Ricerca Operativa sono sei:

1. Esame della situazione reale e raccolta delle informazioni: Comprendere il contesto del problema.
2. Formulazione del problema: Individuazione delle variabili controllabili e non, e scelta della funzione economica da utilizzare (obiettivo).
3. Costruzione del modello matematico: Rappresentare il problema in termini matematici.
4. Soluzione del modello: Trovare la soluzione ottimale utilizzando tecniche matematiche.
5. Analisi e verifica delle soluzioni ottenute: Valutare la validità e la robustezza della soluzione.
6. Applicazione della soluzione: Implementare la soluzione nel contesto reale.

12. Storia della Ricerca Operativa

La Ricerca Operativa è nata per esigenze militari durante la Seconda Guerra Mondiale, tra il 1935 e il 1937, quando il Regno Unito lavorò sul progetto del radar come difesa antiaerea. Rowe, nel 1938, per descrivere una relazione tecnica conclusiva del progetto, utilizzò l'espressione "Operational Research". In Italia, nel 1961, dei ricercatori fondarono l'AIRO (Associazione Italiana di Ricerca Operativa).

Problemi di Scelta e Ottimizzazione

13. Problemi di Scelta

In matematica, i problemi di scelta indicano situazioni per le quali si deve prendere una decisione tra un elevato numero di soluzioni alternative, sulla base di uno o più criteri.

14. Classificazione dei Problemi di Scelta

I problemi di scelta possono essere classificati in base a diverse caratteristiche:

• Discreti
• Continui
• In condizioni di certezza
• In condizioni di incertezza
• Con effetti immediati
• Con effetti differiti

15. Problemi di Scelta nel Caso Continuo

Nei problemi di scelta nel caso continuo, si utilizzano i seguenti termini:

• Costi: Possono essere fissi o variabili.
• Ricavi: R(x) = p * x (prezzo per quantità).
• Profitto o Guadagno Utile: U(x) = R(x) - C(x) (Ricavi meno Costi).

La funzione obiettivo in questi casi può essere una retta o una parabola.

16. Procedura per Risolvere un Problema Relativo alla Funzione Obiettivo

Per risolvere un problema di ottimizzazione con una funzione obiettivo, si segue questa procedura:

1. Formalizzare i dati e sostituire i valori del problema nelle formule.
2. Calcolare la funzione utile.
3. Trovare la funzione obiettivo.
4. Risolvere la funzione (es. trovare punti critici).
5. Determinare il massimo utile e la funzione corrispondente.
6. Disegnare il grafico per visualizzare la soluzione.

17. Funzione Obiettivo Lineare (Retta)

Quando la funzione obiettivo è una retta, la procedura di risoluzione include:

1. Formalizzare i dati.
2. Determinare la funzione obiettivo.
3. Determinare gli elementi utili per il grafico, disegnarlo e commentarlo.
4. Identificare intersezioni e vertici.
5. Calcolare le coordinate dei punti di intersezione e del vertice.
6. Rappresentare il grafico finale.