Moto Rigido Piano: Concetti Fondamentali e Relazioni Cinematiche

Moto Rigido Piano: Concetti Fondamentali e Relazioni Cinematiche

Si parla di moto rigido piano se le velocità dei punti del corpo rigido (c.r.) sono tutte parallele a un piano fisso (detto piano direttore del moto).

Il moto rigido piano è, ad esempio, quello di una lamina piana che si muove in un piano fisso, ma può appartenere anche a un generico corpo tridimensionale in moto attorno a un asse fisso.

Dalla proprietà di rigidità segue che il moto rigido piano è determinato se è noto il moto di un qualunque piano del c.r. parallelo al piano direttore, cioè, nel caso di un corpo con asse fisso, se è noto il moto di una sua sezione ortogonale all'asse. Per questo, faremo riferimento nel seguito a un corpo bidimensionale in moto nel piano XY di un riferimento cartesiano fisso (O; X; Y; Z).

Naturalmente, le proprietà del moto rigido piano sono deducibili come caso particolare dall'analisi generale dell'atto di moto rigido fatta in precedenza, ma qui dedurremo direttamente i risultati di nostro interesse.

Definizioni e Rappresentazioni

Consideriamo un generico punto A del c.r. e una terna cartesiana ortogonale destra (A; x; y; z) solidale al corpo, scegliendo x e y nel piano del corpo, per cui gli assi z e Z coincidono e quindi:

&mathbf{k}(t) = &mathbf{K} (indipendente dal tempo) (1.1)

Chiamiamo poi angolo di rotazione del c.r. l'angolo θ che una direzione solidale con il c.r. forma con una direzione fissa: ad esempio, possiamo assumere come angolo di rotazione l'angolo θ che l'asse x forma con l'asse fisso X (misurato dall'asse fisso X verso l'asse mobile x).

I versori &mathbf{i} e &mathbf{j} degli assi x e y della terna solidale hanno allora la seguente rappresentazione cartesiana rispetto alla terna fissa:

&mathbf{i}(t) = cos θ(t) &mathbf{I} + sin θ(t) &mathbf{J}

&mathbf{j}(t) = -sin θ(t) &mathbf{I} + cos θ(t) &mathbf{J} (1.2)

Chiamiamo velocità angolare del c.r. il vettore &boldsymbol;ω così definito:

&boldsymbol;ω = ˙θ &mathbf{K} = ˙θ &mathbf{k} (1.3)

Pertanto, nel moto rigido piano, &boldsymbol;ω ha direzione costante e misura la variazione nel tempo dell'angolo di rotazione (θ).

Teorema Fondamentale del Moto Rigido Piano

Scelto un secondo punto B del c.r., vale allora il seguente fondamentale risultato.

1.1 Teorema

Le velocità &mathbf{v}_A e &mathbf{v}_B di una qualunque coppia di punti A e B del c.r. e la velocità angolare &boldsymbol;ω sono legate dalla relazione:

&mathbf{v}B - &mathbf{v}A = &boldsymbol;ω ∧ (B - A)

Dimostrazione

Dalla rappresentazione cartesiana (1.2) dei versori della terna mobile e dalla definizione (1.3) di velocità angolare, è immediato verificare che:

d&mathbf{i}/dt = &boldsymbol;ω ∧ &mathbf{i}

d&mathbf{j}/dt = &boldsymbol;ω ∧ &mathbf{j}