Números de Fermat: primalidad, factorización y aplicaciones
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ermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:
- F0=220+1=3{\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=3}
- F1=221+1=5{\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=5}
- F2=222+1=17{\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=17}
- F3=223+1=257{\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=257}
- F4=224+1=65537{\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=65\,537}
Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:
- F5=225+1=232+1=4294967297=641⋅6700417.{\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4\,294\,967\,297=641\cdot 6\,700\,417.\;}
Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma K 2n+1 + 1, risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo L 2n+2 + 1 dove K ed L sono interi positivi.
Nel caso di F5, per L = 1, 2, 3, 4, 5 troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; Di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide F5.
Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi Si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero Finito.
A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:
- F6 = 274177 · 67280421310721 (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
- F7 = 59649589127497217 · 5704689200685129054721 (Morrison e Brillhart, 1970)
- F8 = 1238926361552897 · P62 (Brent e Pollard, 1980)
- F9 = 2424833 · 7455602825647884208337395736200454918783366342657 · P99 (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
- F10 = 45592577 · 6487031809 · 4659775785220018543264560743076778192897 · P252 (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
- F11 = 319489 · 974849 · 167988556341760475137 · 3560841906445833920513 · P564 (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)
dove Px indica un fattore primo di x cifre.[1]
Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che Fn è primo sé e solo sé 3(Fn−1)/2≡−1(modFn).{\displaystyle 3^{(F_{n}-1)/2}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}.}
I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss Dimostrò che si può costruire con riga e compasso un poligono regolare Con n lati sé e solo sé n è il prodotto di una potenza di 2 per un Prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.
Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di F3329780. Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è
- 193⋅23329782+1.{\displaystyle 193\cdot {2^{3329782}}+1.}
Al momento della dimostrazione, F3329780 diventava quindi Il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore Primo e di conseguenza la non primalità.[2]