Operazioni Matematiche: Proprietà di Moltiplicazione, Divisione e Potenze

Proprietà di Moltiplicazione e Divisione

Regole dei Segni

• (+) x (+) = (+)
• (+) : (+) = (+)
• (+) x (-) = (-)
• (+) : (-) = (-)
• (-) x (+) = (-)
• (-) : (+) = (-)
• (-) x (-) = (+)
• (-) : (-) = (+)

Operazioni con le Potenze

Prodotto di Potenze con la Stessa Base

Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

Esempio: 2² · 2³ = 2⁽²⁺³⁾ = 2⁵

Quoziente di Potenze con la Stessa Base

Il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

Esempio: 2⁵ : 2² = 2^(5-2) = 2³

Prodotto di Potenze con lo Stesso Esponente

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempio: 2² · 4² = (2 · 4)²

Quoziente di Potenze con lo Stesso Esponente

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

Esempio: 2⁴ : 3⁴ = (2 : 3)⁴

Potenza di Potenza

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

Esempio: (3²)⁴ = 3^(2·4) = 3⁸

Radici Esatte e Intere

Una radice è esatta quando, elevata all'indice della radice, restituisce il radicando. Ad esempio, 3 è la radice quadrata esatta di 9 perché 3² = 9. 9 è la radice cubica esatta di 729 perché 9³ = 729.

Se non esiste un numero intero che, elevato all'indice della radice, restituisce il radicando, la radice è intera o inesatta. I radicali inesatti sono chiamati radicali. Ad esempio, la radice quadrata di 38 è intera o inesatta, perché non esiste un numero intero il cui quadrato sia 38.

Addizione e Sottrazione di Radici

Non è possibile semplificare ulteriormente espressioni come 5 + √7. L'unica opzione è trovare un valore approssimativo usando una calcolatrice. Lo stesso vale per la sottrazione di radici: 3√2 - √2.

È possibile sommare o sottrarre solo radicali simili, cioè quelli che hanno lo stesso radicando (il numero sotto il segno di radice) e lo stesso indice.

• Esempio: 5√5 + √5 = 6√5
• Esempio: 3√12 + √12 = 4√12
• Esempio: 6√20 + 4√20 - 3√20 = 7√20

Se l'addizione o la sottrazione sono *sotto* la radice, è possibile calcolare il risultato:

• Esempio: √(15 + 19) = √34

Moltiplicazione e Divisione di Radici

Per la moltiplicazione e la divisione, valgono le seguenti regole:

• √(a) · √(b) = √(a · b)
• √(a) : √(b) = √(a : b)

Quindi, invece di moltiplicare le radici, puoi moltiplicare i radicandi e metterli sotto un'unica radice. Invece di dividere le radici, puoi dividere i radicandi e metterli sotto un'unica radice.

Esempi:

• √5 · √7 = √(5 · 7) = √35
• √0.1 · √10 = √1 = 1
• √(1/4) · √32 = √8
• √63 : √7 = √(63 : 7) = √9 = 3

Queste leggi sono spesso usate anche "al contrario":

• √150 = √(25 · 6) = √25 · √6 = 5√6
• √(34/100) = √34 / √100 = √34 / 10

Combinazione di Operazioni con le Radici

Negli esercizi di matematica, le operazioni con le radici sono spesso combinate. È necessario prestare attenzione e fare molta pratica.

Esempi:

• √(5√(3 + 17)) = √(5√20) = √(5 · 2 · √5) = √(10√5). Questo esempio mostra una combinazione di addizione e moltiplicazione sotto radice.
• 3 · √(20/15) = 3 · √(4/3). Questo esempio mostra una combinazione di moltiplicazione e divisione sotto radice. Una semplificazione ulteriore porta a: 3 · 2 / √3 = 2√3
• √4 + √9 + 3√13 = √13 + 3√13= 4√13. Questo esempio mostra una combinazione di addizione e semplificazione di radicali simili.