Principi Fondamentali del Calore, Lavoro e Termodinamica

Calore, Lavoro e la Prima Legge della Termodinamica

Riassunto

Il trasferimento di energia termica è una forma di trasferimento di energia che si verifica a causa di una differenza di temperatura. L'energia all'interno di una sostanza è una funzione del suo stato e solitamente aumenta all'aumentare della temperatura.

Definizioni Fondamentali

• La Caloria: Quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura di 1 g di acqua da 14,5 °C a 15,5 °C.
• Equivalente Meccanico del Calore: 4186 J/cal.

Capacità Termica e Calore Latente

• Capacità Termica di una sostanza: Quantità di energia termica necessaria per innalzare la temperatura di una sostanza di un grado Celsius.

L'energia termica necessaria per modificare la temperatura di una sostanza di ΔT è data da:
Q = mcΔT dove m è la massa della sostanza e c è il suo calore specifico.

L'energia termica necessaria per cambiare la fase di una sostanza pura di massa m è:
Q = mL Il parametro L è chiamato calore latente della sostanza e dipende dalla natura del cambiamento di fase e dalle proprietà della sostanza.

Lavoro Svolto da un Gas

Il lavoro svolto da un gas, mentre il suo volume cambia da un valore iniziale Vᵢ a un valore finale V<0xE2><0x82><0x93>, è definito come:
W = ∫ P dV dove P è la pressione, che può variare durante il processo. Per valutare W, è necessario specificare la natura del processo, ovvero P e V devono essere noti in ogni fase. Poiché il lavoro svolto dipende dagli stati iniziale, finale e intermedi, dipende quindi dalla traiettoria tra gli stati iniziale e finale.

La Prima Legge della Termodinamica

La prima legge della termodinamica afferma che quando un sistema subisce un cambiamento da uno stato all'altro, la variazione di energia interna è:
ΔU = Q - W dove Q è il calore trasferito al sistema e W è il lavoro svolto dal sistema. Sebbene sia Q che W dipendano dalla traiettoria dallo stato iniziale allo stato finale, la quantità ΔU è indipendente dal percorso.

Casi Specifici della Prima Legge

• Processo Ciclico: Un processo che inizia e termina nello stesso stato. In questo caso, ΔU = 0, quindi Q = W. L'energia termica trasferita al sistema è uguale al lavoro svolto durante il ciclo.
• Processo Adiabatico: Un processo in cui non viene trasferito calore tra il sistema e i suoi dintorni (Q = 0). In questo caso, la prima legge produce ΔU = -W. I cambiamenti nell'energia interna sono il risultato del lavoro svolto dal (o sul) sistema.
• Espansione Adiabatica Libera di un gas: Q = 0 e W = 0, quindi ΔU = 0. L'energia interna del gas non cambia in questo processo.
• Processo Isovolumetrico: Avviene a volume costante. Nessun lavoro di espansione viene svolto in un processo con queste caratteristiche.
• Processo Isobarico: Avviene a pressione costante. Il lavoro svolto in un processo di questo tipo è PΔV.
• Processo Isotermico: Avviene a temperatura costante. Il lavoro svolto da un gas ideale nel corso di un processo isotermo reversibile è:
  W = nRT ln(V<0xE2><0x82><0x93>/Vᵢ)

Modalità di Trasferimento del Calore

Il calore può essere trasferito per conduzione, convezione e radiazione.

• Conduzione: Può essere vista come uno scambio tra energia cinetica di molecole o elettroni che collidono. La velocità con cui il calore fluisce per conduzione attraverso una piastra di area A è:
  H = -kA (dT/dx) dove k è la conducibilità termica e dT/dx è il gradiente di temperatura.
• Convezione: La sostanza riscaldata si muove da un luogo all'altro.
• Radiazione: Tutti i corpi irradiano e assorbono energia sotto forma di onde elettromagnetiche. Un corpo più caldo dell'ambiente circostante irradia più energia di quanta ne assorbe, mentre un corpo più freddo assorbe più energia di quanta ne irradia. L'energia netta guadagnata o persa ogni secondo da un oggetto a causa della radiazione è:
  P_net = εAσ(T⁴ - T₀⁴)

Esempi Applicativi

Esempio 1: Perdere peso nel modo più difficile

Uno studente consuma 2000 calorie (cibo). Per consumare una quantità equivalente di energia in palestra sollevando una massa di 50,0 kg, quante volte deve sollevare la massa? Supponendo che il peso su ogni sollevamento percorra una distanza di 2,00 m e non si recuperi energia durante la caduta.

Nota: L'unità di caloria utilizzata dai nutrizionisti è 1 kcal = 1000 cal = 4,186 J.

Soluzione: Considerando 1 Kcal = 1,00 x 10³ cal, il lavoro richiesto è 2,00 x 10⁶ cal. La conversione in Joule dà il lavoro totale richiesto:
W = (2,00 x 10⁶ cal) * (4,186 J/cal) = 8,37 x 10⁶ J

Il lavoro svolto per sollevare la massa di una distanza h è pari a mgh. Il lavoro totale richiesto è W = nmgh. Uguagliando questo al lavoro totale richiesto:
n = W / (mgh) = (8,37 x 10⁶ J) / ((50,0 kg) * (9,80 m/s²) * (2,00 m)) = 8,54 x 10⁴ volte

Se lo studente solleva il peso una volta ogni 5 secondi, impiegherebbe circa 12 ore. È molto più facile perdere peso con la dieta.

Esempio 2: Raffreddamento di un lingotto caldo

Un lingotto di metallo di 0,0500 kg viene riscaldato a 200,0 °C e poi posto in un bicchiere contenente 0,400 kg di acqua inizialmente a 20,0 °C. Se la temperatura di equilibrio finale del sistema misto è 22,4 °C, trovare il calore specifico del metallo.

Soluzione: Poiché l'energia termica persa dal lingotto è uguale all'energia termica acquisita dall'acqua, possiamo scrivere:
m_lingotto * c_lingotto * (Tᵢ - T<0xE2><0x82><0x93>) = m_acqua * c_acqua * (T<0xE2><0x82><0x93> - Tᵢ)
(0,0500 kg) * c_lingotto * (200,0 °C - 22,4 °C) = (0,400 kg) * (4186 J/kg·°C) * (22,4 °C - 20,0 °C)

Da cui troviamo:
c_lingotto = 453 J/kg·°C

È probabile che il lingotto sia di ferro, confrontando il risultato con i dati di una tabella.

Esercizio: Qual è l'energia termica totale trasferita all'acqua quando il lingotto si raffredda?

Risposta: 4020 J.

Esempio 3: Un cowboy sportivo

Un cowboy spara un proiettile d'argento di massa 2,00 g con una velocità di 200 m/s contro un muro di pino in un bar. Supponendo che tutta l'energia interna generata dall'impatto rimanga con il proiettile, quale sarebbe la variazione di temperatura del proiettile se la sua energia cinetica fosse assorbita dallo stesso proiettile?

Soluzione: L'energia cinetica del proiettile è:
KE = 1/2 * m * v² = 1/2 * (2,00 x 10⁻³ kg) * (200 m/s)² = 40,0 J

Nell'ambiente non c'è nulla di più caldo del proiettile, quindi non guadagna energia termica. La temperatura aumenta perché i 40,0 J di energia diventano 40,0 J di energia cinetica interna aggiuntiva. La variazione di temperatura sarebbe la stessa di quando 40,0 J di energia termica vengono trasferiti da un forno al proiettile. Calcoliamo ΔT usando Q = mcΔT.

Poiché il calore specifico dell'argento è 234 J/kg·°C, otteniamo:
ΔT = Q / (mc) = 40,0 J / ((2,00 x 10⁻³ kg) * (234 J/kg·°C)) = 85,5 °C

Esercizio: Supponendo che il cowboy lasci cadere i proiettili d'argento e spari un proiettile di piombo della stessa massa e velocità contro il muro. Quale sarebbe la variazione di temperatura del proiettile?

Risposta: 157 °C.

Esempio 4: Raffreddamento del vapore

Quale massa di vapore, inizialmente a 130 °C, è necessaria per riscaldare 200 g di acqua a 20,0 °C fino a 50,0 °C in un contenitore di vetro da 100 g?

Soluzione: Questo è un problema di trasferimento di calore in cui l'energia termica rilasciata dal vapore è uguale all'energia termica ottenuta dall'acqua e dal contenitore di vetro. Ci sono tre fasi in cui il vapore perde energia termica.

1. Raffreddamento del vapore a 100 °C. L'energia termica rilasciata in questo processo è:
   Q₁ = m_s * c_s * ΔT = m_s * (2,01 x 10³ J/kg·°C) * (30,0 °C) = m_s * (6,03 x 10⁴ J/kg)
2. Il vapore si trasforma in acqua. In questo caso, per trovare l'energia termica estratta, si usa il calore latente di vaporizzazione:
   Q₂ = m_s * L_v = m_s * (2,26 x 10⁶ J/kg)
3. Nell'ultima fase, l'acqua viene raffreddata a 50,0 °C. Questo rilascia una quantità di energia termica:
   Q₃ = m_s * c_w * ΔT = m_s * (4,19 x 10³ J/kg·°C) * (50,0 °C) = m_s * (2,09 x 10⁵ J/kg)

D'altra parte, l'energia assorbita dall'acqua e dal contenitore di vetro è data da:
Q₄ = m_w * c_w * (50 °C - 20 °C)
Q₅ = m_v * c_v * (50 °C - 20 °C)

Uguagliando l'energia termica persa dal vapore all'energia termica acquisita dall'acqua e dal vetro:
m_s * (c_s * ΔT_vapore + L_v + c_w * ΔT_acqua) = m_w * c_w * ΔT_acqua + m_v * c_v * ΔT_vetro

Utilizzando le informazioni fornite, troviamo che:
m_s = 10,9 g

Esempio 5: Ebollizione dell'elio liquido

L'elio liquido ha un punto di ebollizione molto basso, 4,2 K, e un calore di vaporizzazione anche molto basso, 2,09 x 10⁴ J/kg. Trasferire una potenza costante di 10,0 W a un contenitore di elio liquido tramite una resistenza elettrica sommersa. A questo ritmo, quanto tempo occorre per far bollire 1,00 kg di elio liquido?

Ragionamento e Soluzione: Dato che L_v = 2,09 x 10⁴ J/kg per l'elio liquido, è necessario fornire 2,09 x 10⁴ J di energia per far bollire 1,00 kg. La potenza fornita all'elio è 10,0 W = 10,0 J/s. Ciò significa che in 1,0 s, 10,0 J di energia vengono trasferiti all'elio. Pertanto, il tempo necessario per trasferire 2,09 x 10⁴ J di energia è:
t = Energia / Potenza = (2,09 x 10⁴ J) / (10,0 J/s) = 2,09 x 10³ s ≈ 35 min

Esercizio: Se si forniscono 10,0 W di potenza a 1,00 kg di acqua a 100 °C, dopo quanto tempo l'acqua avrà bollito completamente?

Risposta: 62,8 h.

Esempio 6: Lavoro svolto durante l'espansione isoterma

Calcolare il lavoro svolto da 1,0 mole di un gas ideale mantenuto a 0,0 °C nel corso di un'espansione da 3,0 litri a 10,0 litri.

Soluzione: Sostituendo questi valori nell'equazione:
W = nRT ln(V<0xE2><0x82><0x93>/Vᵢ)
W = (1,0 mol) * (8,31 J/mol·K) * (273 K) * ln(10,0 L / 3,0 L)
W = 2,7 x 10³ J

L'energia termica da fornire al gas dal serbatoio per mantenere la temperatura a 0 °C è 2,7 x 10³ J.

Esempio 7: Ebollizione dell'acqua

Un grammo di acqua occupa un volume di 1,00 cm³ a pressione atmosferica. Quando l'acqua bolle, diventa 1671 cm³ di vapore. Calcolare la variazione di energia interna per questo processo.

Soluzione: Poiché il calore latente di vaporizzazione dell'acqua è 2,26 x 10⁶ J/kg a pressione atmosferica, il calore necessario per far bollire 1,00 g è:
Q = mL_v = (1,00 x 10⁻³ kg) * (2,26 x 10⁶ J/kg) = 2260 J

Il lavoro svolto dal sistema è positivo e pari a:
W = P * (V_v - V_l) = (1,013 x 10⁵ N/m²) * [(1671 - 1,00) x 10⁻⁶ m³] = 169 J

Pertanto, la variazione di energia interna è:
ΔU = Q - W = 2260 J - 169 J = 2,09 kJ

L'energia interna del sistema aumenta poiché ΔU è positivo. La maggior parte (93%) dell'energia termica trasferita viene utilizzata per aumentare l'energia interna. Solo il 7% corrisponde al lavoro esterno.

Esempio 8: Calore trasferito in un solido

Una barra di rame di 1,0 kg viene riscaldata a pressione atmosferica. Se la sua temperatura aumenta da 20 °C a 50 °C:

(a) Trovare il lavoro svolto dal rame.

Soluzione: La variazione di volume del rame può essere calcolata utilizzando l'equazione ΔV = V * α * ΔT e il coefficiente di espansione volumetrica del rame (α ≈ 5,1 x 10⁻⁵ °C⁻¹).
ΔV = V * (5,1 x 10⁻⁵ °C⁻¹) * (50 °C - 20 °C) = V * (1,5 x 10⁻³)

Il volume iniziale del rame è V = m/ρ = 1,0 kg / (8,92 x 10³ kg/m³) ≈ 1,12 x 10⁻⁴ m³.

Quindi, ΔV ≈ (1,12 x 10⁻⁴ m³) * (1,5 x 10⁻³) ≈ 1,7 x 10⁻⁷ m³.

Poiché l'espansione avviene a pressione costante, il lavoro è:
W = P * ΔV = (1,013 x 10⁵ N/m²) * (1,7 x 10⁻⁷ m³) = 1,9 x 10⁻² J

(b) Quanta energia termica viene trasferita al rame?

Soluzione: Utilizzando il calore specifico del rame (c ≈ 387 J/kg·°C):
Q = mcΔT = (1,0 kg) * (387 J/kg·°C) * (30 °C) = 1,2 x 10⁴ J

(c) Qual è l'aumento di energia interna del rame?

Soluzione: Dalla prima legge della termodinamica, l'aumento di energia interna è:
ΔU = Q - W = 1,2 x 10⁴ J - 1,9 x 10⁻² J ≈ 1,2 x 10⁴ J

Si noti che quasi tutta l'energia termica trasferita è destinata ad aumentare l'energia interna. La frazione di energia termica utilizzata per svolgere lavoro contro l'atmosfera è approssimativamente solo 10⁻⁶. Pertanto, per l'espansione termica di un solido o di un liquido, la piccola quantità di lavoro svolto è spesso trascurata.

Esempio 9: Trasferimento di calore attraverso due piastre

Due piastre di spessore L₁ e L₂ e conducibilità termica k₁ e k₂ sono in contatto termico tra loro. Le temperature delle superfici esterne sono T₁ e T₂, rispettivamente, con T₂ > T₁. Determinare la temperatura a livello dell'interfaccia e la velocità di trasferimento dell'energia termica attraverso le piastre in condizioni di stato stazionario.

Soluzione: Se T è la temperatura a livello dell'interfaccia, allora la velocità con cui l'energia termica viene trasferita attraverso la piastra 1 è:
H₁ = k₁A * (T - T₁) / L₁

Allo stesso modo, la velocità con cui l'energia termica viene trasferita attraverso la piastra 2 è:
H₂ = k₂A * (T₂ - T) / L₂

In condizioni di stato stazionario, queste due velocità di trasferimento del calore devono essere uguali:
k₁A * (T - T₁) / L₁ = k₂A * (T₂ - T) / L₂

Risolvendo per T si ottiene:
T = (k₁LT₂ + k₂LT₁) / (k₁L₂ + k₂L₁)

Sostituendo questa espressione per la temperatura nelle equazioni per calcolare H₁ o H₂, si ottiene la velocità di trasferimento del calore:
H = A * (T₂ - T₁) / (L₁/k₁ + L₂/k₂)

Estendere questo modello a più piastre porta a un'equazione generale per la resistenza termica totale.

Esempio 10: Il Valore R di un muro comune

Calcolare il valore R di un muro come mostrato nella Figura 2a. Partendo dalla parte esterna della casa (a sinistra nella Figura 2a) e procedendo verso l'interno, il muro è composto da mattoni, un rivestimento, un'intercapedine d'aria di 3,5 pollici e un pannello di cartongesso di 0,5 pollici di spessore. Si considerino gli strati di movimento dell'aria all'interno e all'esterno della casa.

Soluzione: Facendo riferimento a una tabella dei valori R, il valore totale per il muro è la somma dei valori R individuali:

• R₁ (film aria esterna): 0,17 ft²·°F·h/BTU
• R₂ (mattoni): 4,00
• R₃ (rivestimento): 1,32
• R₄ (intercapedine d'aria): 1,01
• R₅ (cartongesso): 0,45
• R₆ (film aria interna): 0,17
• R totale = 7,12 ft²·°F·h/BTU

Esercizio: Se uno strato di isolante in fibra di vetro da 3,5 pollici di spessore viene posizionato all'interno del muro per sostituire l'intercapedine d'aria, come mostrato nella Figura 2b, qual è il nuovo valore R totale? Quale fattore riduce la perdita di energia termica?

Risposta: R = 17 ft²·°F·h/BTU. La perdita di energia è ridotta di un fattore di 2,4.

Esempio 11: Chi ha spento il termostato?

Uno studente è nudo in una stanza a 20 °C. Se la temperatura della pelle dello studente è di 37 °C, qual è la quantità di calore disperso dal corpo in 10 minuti, assumendo che l'emissività della pelle sia 0,90 e la superficie dello studente sia 1,5 m²?

Soluzione: Il tasso di perdita di calore dalla pelle è dato dalla legge di Stefan-Boltzmann:
P_net = εAσ(T⁴ - T₀⁴)

Dove σ è la costante di Stefan-Boltzmann (5,67 x 10⁻⁸ W/m²·K⁴).

P_net = (5,67 x 10⁻⁸ W/m²·K⁴) * (1,5 m²) * (0,90) * [(310 K)⁴ - (293 K)⁴] ≈ 140 J/s

A questo ritmo di perdita di energia, il calore totale perso dalla pelle in 10 minuti (600 s) è:
Q_net = P_net * tempo = (140 J/s) * (600 s) = 8,4 x 10⁴ J