Principi Fondamentali della Dinamica e Statica: Le Equazioni Cardinali

Equazioni Cardinali della Meccanica

Questa è una breve sintesi delle equazioni che, secondo l'impostazione della meccanica newtoniana (o vettoriale), caratterizzano il moto e l'equilibrio del punto materiale, del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi liberi o tra loro vincolati (sistemi articolati); tali sistemi si possono formalmente analizzare come insiemi di punti (schema particellare) o come insiemi di corpi continui.

In effetti, lo schema formale e concettuale adottato nella formulazione delle equazioni di seguito descritte viene mantenuto anche per formulare le equazioni di moto e di equilibrio dei continui deformabili.

Lo scopo di questa sintesi è solo di fissare alcune notazioni e definizioni: si rimanda ai testi per la loro deduzione a partire dalle leggi di Newton e per una trattazione più completa.

Il Punto Materiale

Rispetto ad un osservatore inerziale, le equazioni di moto e di equilibrio di un punto materiale $P$ sono date da:

$F + \text{flusso} = m\mathbf{a}$ (Moto); $F + \text{flusso} = 0$ (Equilibrio) (3.1)

Dove $m$ è la massa del punto, $F$ è la forza attiva applicata, $\text{flusso}$ la reazione vincolare, cioè la forza esercitata dal vincolo cui è eventualmente soggetto il punto.

Rispetto ad un osservatore non inerziale, la prima equazione continua a valere annoverando tra le forze $F$ anche la forza apparente di trascinamento e la forza di Coriolis; la seconda vale ancora aggiungendo a $F$ la forza apparente di trascinamento (la forza di Coriolis essendo identicamente nulla in condizioni di equilibrio relativo).

Nota la forza $F$, le equazioni (3.1) contengono come incognite la posizione $P$ del punto e la reazione vincolare $\text{flusso}$. Se quindi il punto è vincolato (ad una linea o ad una superficie) ed il problema è quello di determinare il moto o l'equilibrio, si deve pervenire ad equazioni pure (contenenti cioè la sola posizione), eliminando la reazione vincolare $\text{flusso}$.

Sistema Esteso e Formulazione Cardinale

Consideriamo un sistema esteso, visto come un insieme di punti materiali $P_i$ ($i = 1, 2, \dots, N$) o come un continuo che occupa un volume $V \subset R^3$. Dalle (3.1) scritte per ogni punto $P_i$ o per ogni elemento continuo di massa $dm = \rho dV$ ($\rho$ densità materiale del sistema) si perviene, tenendo conto del principio di azione e reazione (come conseguenza del quale il risultante ed il momento risultante delle forze interne in un qualunque sistema meccanico sono identicamente nulli), alle seguenti equazioni, che hanno una validità del tutto generale e che sono dette le Equazioni Cardinali della Dinamica e della Statica:

Equazioni Cardinali Fondamentali

Teorema della Quantità di Moto (Risultante):

$\frac{dQ}{dt} = R + R'$ (Dinamica); $R + R' = 0$ (Statica) (3.2)

Teorema del Momento della Quantità di Moto (Momento):

$\frac{dK_O}{dt} + \mathbf{v}_O \wedge Q = M_O + M'_O$ (Dinamica); $M_O + M'_O = 0$ (Statica) (3.3)

Il punto $O$ è generico; se $O$ è fisso, oppure coincide con il centro di massa $G$, oppure se $\mathbf{v}_O$ è parallelo alla velocità $\mathbf{v}_G$ del centro di massa, si ha $\mathbf{v}_O \wedge Q = 0$, per cui la prima delle (3.3) assume la forma semplificata:

$\frac{dK_O}{dt} = M_O + M'_O$

Definizioni dei Termini (Equazioni 3.2)

Le (3.2) sono ottenute sommando le equazioni (3.1) scritte per tutti i punti del sistema: sono dette rispettivamente il teorema della quantità di moto e l'equazione del risultante. In tali equazioni:

• Quantità di Moto ($Q$): È definita come la somma vettoriale delle quantità di moto dei singoli punti o come l'integrale della quantità di moto infinitesima $\mathbf{v} dm = \rho \mathbf{v} dV$ associata ad un elemento di massa $dm$.

  $Q = \sum_{i=1}^N m_i \mathbf{v}_i$; $Q = \int_m \mathbf{v} dm = \int_V \mathbf{v} \rho dV$ (3.4)

• Risultanti ($R$ e $R'$): $R$ e $R'$ sono rispettivamente il Risultante delle forze esterne attive e reattive applicate al sistema, cioè delle azioni sui punti del sistema dovuti all'interazione con elementi che non fanno parte del sistema stesso. (Come già ricordato, il risultante delle forze interne attive e reattive è identicamente nullo per ogni sistema meccanico, per il principio di azione e reazione). Per un sistema di punti si ha:

  $R = \sum_{i=1}^N F_i$; $R' = \sum_{i=1}^N \text{flusso}_i$ (3.5)

Teorema di Moto del Centro di Massa (Baricentro)

Osserviamo infine che la prima equazione (3.2) si può scrivere in forma equivalente facendo intervenire il centro di massa $G$ del sistema. Ricordando infatti che la quantità di moto $Q$ di un generico sistema di massa $m$ e la velocità $\mathbf{v}_G$ del suo centro di massa $G$ sono legate dalla relazione $Q = m\mathbf{v}_G$, derivando rispetto al tempo otteniamo $\frac{dQ}{dt} = m\mathbf{a}_G$. La prima equazione cardinale della dinamica si scrive allora nella forma:

$m\mathbf{a}_G = R + R'$

e prende il nome di teorema di moto del centro di massa (o, più brevemente, teorema di moto del baricentro): si tratta infatti dell'equazione di Newton per un punto materiale di massa $m$ a cui si pensi applicata una forza $F = R + R'$. In particolare, se le forze esterne applicate ad un sistema hanno risultante nullo, per il centro di massa vale la legge di inerzia: $G$ si muove di moto rettilineo uniforme (o, equivalentemente, è in quiete in un opportuno sistema di riferimento inerziale).

Definizioni dei Termini (Equazioni 3.3)

Le (3.3) sono ottenute moltiplicando vettorialmente per $(P_i - O)$ l'equazione di moto (o di equilibrio) per il generico punto $P_i$ e sommando le equazioni così ottenute su tutti i punti del sistema: esse sono dette rispettivamente il teorema del momento delle quantità di moto e l'equazione del momento. In tali equazioni:

• Momento della Quantità di Moto ($K_O$): È il momento delle quantità di moto (o momento angolare) rispetto ad un punto $O$ (di velocità $\mathbf{v}_O$), definito come la somma vettoriale dei momenti delle quantità di moto dei singoli punti o come l'integrale del momento della quantità di moto infinitesima $(P-O) \wedge \mathbf{v} dm = (P-O) \wedge \rho \mathbf{v} dV$ associata ad un elemento di massa $dm$.

  $K_O = \sum_{i=1}^N (P_i - O) \wedge m_i \mathbf{v}_i$; $K_O = \int_m (P - O) \wedge \mathbf{v} dm = \int_V (P - O) \wedge \mathbf{v} \rho dV$ (3.6)

• Momenti Risultanti ($M_O$ e $M'_O$): $M_O$ e $M'_O$ sono rispettivamente il Momento risultante delle forze esterne attive e reattive applicate al sistema, rispetto allo stesso punto $O$. (Il momento risultante delle forze interne attive e reattive è identicamente nullo per ogni sistema meccanico, per il principio di azione e reazione). Per un sistema di punti si ha:

  $M_O = \sum_{i=1}^N (P_i - O) \wedge F_i$;

  $M'_O = \sum_{i=1}^N (P_i - O) \wedge \text{flusso}_i$ (3.7)