Principi Fondamentali: Forze Conservative, Energia Potenziale e Leggi di Keplero

Forze Conservative e Lavoro

Per molti tipi di forze, il lavoro fatto per spostare un corpo tra due punti dipende dal percorso seguito (ad esempio, le forze di attrito). Non è così nel caso di un particolare tipo di forze, chiamate forze conservative. Una forza conservativa è una forza in grado di restituire il lavoro fatto contro di essa.

Sono caratterizzate dall'esecuzione di un lavoro che dipende solo dalle posizioni iniziali e finali, non dal percorso compiuto. Per questo motivo, quando il lavoro viene svolto lungo un percorso chiuso, il risultato è zero. Questa è una proprietà che caratterizza le forze centrali. I campi in cui agiscono queste forze prendono il nome di campi conservativi.

Tenendo presente che l'esecuzione di lavoro è accompagnata da un cambiamento di energia, si può definire un nuovo tipo di energia associata alla posizione. In questo modo, il lavoro compiuto da tale forza è pari alla differenza tra i valori iniziale e finale di questa energia, che è chiamata energia potenziale e dipende solo dalle coordinate.

Energia Potenziale Gravitazionale

Per ricavare l'espressione dell'energia potenziale gravitazionale, si calcola il lavoro fatto dalla forza di gravità da un punto di riferimento (convenzionalmente l'infinito) a qualsiasi punto del campo a distanza r dall'oggetto che genera il campo:

(Il risultato di cui sopra si ottiene applicando le proprietà degli integrali definiti).

Sostituendo, si arriva all'espressione: se si pone l'energia potenziale (zero) all'infinito:

E_p = -G \frac{m \cdot m'}{r}

che è il valore che assume l'energia potenziale di un oggetto di massa m', che si trova a una distanza r dall'oggetto di massa m che genera il campo.

L'energia potenziale gravitazionale è sempre negativa e aumenta (diventa meno negativa, avvicinandosi a zero) man mano che ci si allontana dalla superficie della Terra.

Le Leggi di Keplero sul Moto Planetario

1. Prima Legge di Keplero: Le Orbite Ellittiche

   Tutti i pianeti percorrono orbite ellittiche muovendosi intorno al Sole, che occupa uno dei fuochi dell'ellisse.

   Poiché il vettore del momento angolare L è costante nel sistema (non cambia la sua grandezza, la sua direzione, né il suo verso, essendo orientato perpendicolarmente al piano dell'eclittica, verso l'alto, in senso antiorario), il piano dell'orbita non cambia.

2. Seconda Legge di Keplero: La Legge delle Aree

   Il raggio vettore che unisce il centro del Sole al centro del pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, cioè la velocità areolare rimane costante.

   Dimostrazione

   In un tempo dt un pianeta percorre uno spazio ds.

   Guardando il disegno (immaginario), l'area del triangolo che si forma è data da:

   dA = 1/2 |r x ds|

   Ricordiamo che il prodotto vettoriale rappresenta l'area del parallelogramma.

   Si dimostra che l'area spazzata dipende dalla massa del pianeta, dal modulo del momento angolare e dal tempo. Poiché la massa del pianeta è costante e il momento angolare L è costante (come menzionato in relazione alla prima legge, essendo la forza gravitazionale una forza centrale e in assenza di forze esterne), ne consegue che, per lo stesso periodo di tempo, l'area spazzata sarà la stessa.

   Ciò indica che i pianeti che passano per il perielio della loro orbita (la zona più vicina al Sole) viaggiano più velocemente rispetto all'afelio (la zona più lontana dal Sole), poiché devono percorrere la stessa area quando il raggio è più piccolo.

3. Terza Legge di Keplero: La Legge dei Periodi

   I quadrati dei periodi di rivoluzione dei due pianeti intorno al Sole sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite nella loro rivoluzione intorno al Sole.

   T^2 = k \cdot R^3