Principi di Meccanica Analitica: Teoremi di König, Huyghens e Relazione Simbolica della Dinamica

Principi Fondamentali di Cinematica e Dinamica dei Corpi Rigidi

Momento della Quantità di Moto ($K_A$)

(b) Se $A$ è un punto qualunque del corpo rigido (c.r.) ($A \neq G$; $A \neq C$), il momento della quantità di moto non è più direttamente proporzionale a $\boldsymbol{\omega}$ e si calcola con la formula del trasporto:

• $K_A = K_G + (G - A) \wedge m\boldsymbol{v}_G = I_G \boldsymbol{\omega} + (G - A) \wedge m\boldsymbol{v}_G$;
• oppure $K_A = K_C + (C - A) \wedge m\boldsymbol{v}_G = I_C \boldsymbol{\omega} + (C - A) \wedge m\boldsymbol{v}_G$.

Energia Cinetica ($T$)

Per il calcolo dell'energia cinetica si hanno i seguenti risultati:

1. Se l'atto di moto è traslatorio con velocità $\boldsymbol{v}$: $$T = \frac{1}{2} m v^2$$
2. Se $\boldsymbol{\omega} \neq 0$ ed è noto il Centro Istantaneo di Rotazione ($C.I.R.$) $C$: $$T = \frac{1}{2} I_C \omega^2 = \frac{1}{2} I_C \dot{\theta}^2$$
3. Se non è noto il $C.I.R.$, $T$ può calcolarsi mediante il Teorema di König: $$T = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2 = \frac{1}{2} m V_G^2 + \frac{1}{2} I_G \dot{\theta}^2$$

Momento d'Inerzia ($I_A$) e Teorema di Huyghens

Osservazione sul Momento d'Inerzia. Dalla definizione generale di momento d'inerzia segue che per un corpo rigido (c.r.) piano, di densità $\rho$, massa $m$ e superficie $\Sigma$, il momento d'inerzia rispetto a un punto $A$ (cioè il momento d'inerzia rispetto a un asse passante per $A$ ed ortogonale al piano contenente il corpo) è dato da:

$$I_A = \int_m r^2 dm = \iint_\Sigma r^2 \rho d\Sigma$$

Essendo $r$ la distanza dell'elemento di massa $dm = \rho d\Sigma$ da $A$. Naturalmente, se il c.r. è un tratto di curva piana, l'integrale doppio va sostituito con l'integrale di linea. Se il punto $A$ è un punto solidale al c.r., il momento d'inerzia $I_A$ è costante; se $A$ non è solidale al c.r., $I_A$ è in generale funzione del tempo.

Nel calcolo dei momenti d'inerzia può essere utile ricordare la seguente proprietà, che segue dal cosiddetto Teorema del Trasporto (di Huyghens):

$$I_A = I_G + m \overline{AG}^2$$

Questa formula lega il momento d'inerzia rispetto a un generico punto $A$ al momento d'inerzia baricentrale $I_G$. Da essa segue anche che il momento d'inerzia rispetto al baricentro è il minimo tra tutti gli altri momenti d'inerzia calcolati rispetto ai punti del piano.

7. Relazione Simbolica della Dinamica

Consideriamo un generico sistema meccanico, che schematizziamo come un sistema di $N$ punti materiali $P_i$ ($i = 1, 2, \dots, N$), di massa $m_i$. Indichiamo con $\boldsymbol{F}_i$ e con $\boldsymbol{\mathcal{R}}_i$ le forze attive e reattive applicate ai punti $P_i$, e con $\delta \boldsymbol{P}_i$ gli spostamenti virtuali dei punti $P_i$.

Postulato sui Vincoli Non Dissipativi

In meccanica analitica si considerano sistemi soggetti a vincoli non dissipativi, per i quali si introduce il seguente postulato:

Postulato. Per un qualunque sistema meccanico soggetto a vincoli non dissipativi, sia in condizioni di equilibrio che in condizioni di moto, il lavoro virtuale complessivo delle reazioni vincolari (esterne ed interne) non è mai negativo per ogni spostamento virtuale dei punti del sistema:

$$\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{\mathcal{R}}_i \cdot \delta \boldsymbol{P}_i \geq 0 \quad \forall \delta \boldsymbol{P}_i \quad (7.1)$$

Derivazione della Relazione Simbolica

Considerando le equazioni di moto $\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{\mathcal{R}}_i = m_i \boldsymbol{a}_i$ per ogni punto del sistema, le scriviamo nella forma:

$$\boldsymbol{\mathcal{R}}_i = -(\boldsymbol{F}_i - m_i \boldsymbol{a}_i) \quad (i = 1, 2, \dots, N) \quad (7.2)$$

Queste equazioni, risolte, forniscono sia il moto $\boldsymbol{P}_i = \boldsymbol{P}_i(t)$ che le reazioni vincolari $\boldsymbol{\mathcal{R}}_i$. Dalle (7.1) e (7.2) segue allora che se:

1. Valgono le leggi di Newton;
2. I vincoli sono non dissipativi;

Il moto $\boldsymbol{P}_i = \boldsymbol{P}_i(t)$ deve essere tale da verificare la relazione:

$$\sum_{i=1}^{N} (\boldsymbol{F}_i - m_i \boldsymbol{a}_i) \cdot \delta \boldsymbol{P}_i \leq 0 \quad \forall \delta \boldsymbol{P}_i \quad (7.3)$$

Questa è detta la Relazione Simbolica della Dinamica.

Equazione Simbolica della Dinamica (Vincoli Bilateri)

Introduciamo l'ulteriore ipotesi di vincoli bilateri. Essendo in tal caso gli spostamenti virtuali reversibili, la relazione (7.3) deve valere per ogni scelta di spostamenti $\delta \boldsymbol{P}_i$ e per i loro opposti $-\delta \boldsymbol{P}_i$. Poiché il lavoro è lineare negli spostamenti, ne segue che deve essere verificata la Equazione Simbolica della Dinamica:

$$\sum_{i=1}^{N} (\boldsymbol{F}_i - m_i \boldsymbol{a}_i) \cdot \delta \boldsymbol{P}_i = 0 \quad \forall \delta \boldsymbol{P}_i \quad (7.4)$$

Osservazione e Implicazioni

Le relazioni (7.3) e (7.4) sono state ottenute come conseguenze necessarie delle equazioni di Newton: ogni moto $\boldsymbol{P}_i = \boldsymbol{P}_i(t)$ del sistema, ottenuto risolvendo le equazioni di Newton dopo aver eliminato le reazioni vincolari $\boldsymbol{\mathcal{R}}_i$ esercitate dai vincoli non dissipativi durante il moto, deve soddisfare la relazione e/o l'equazione simbolica della dinamica.

D'altra parte, se per un sistema con vincoli non dissipativi si determina una legge di moto $\boldsymbol{P}_i = \boldsymbol{P}_i(t)$ per cui vale la (7.3) o la (7.4), tale moto è soluzione delle equazioni di Newton (7.2). Infatti, introdotti $N$ vettori $\boldsymbol{\mathcal{R}}_i$ definiti da:

$$\boldsymbol{\mathcal{R}}_i := -(\boldsymbol{F}_i - m_i \boldsymbol{a}_i) \quad (i = 1, 2, \dots, N) \quad (7.5)$$

Le equazioni (7.2) sono verificate per costruzione e i vettori $\boldsymbol{\mathcal{R}}_i$ sono senz'altro interpretabili come reazioni vincolari esercitate sul sistema dai vincoli non dissipativi, poiché dalle (7.5) e (7.3) segue che:

$$\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{\mathcal{R}}_i \cdot \delta \boldsymbol{P}_i = - \sum_{i=1}^{N} (\boldsymbol{F}_i - m_i \boldsymbol{a}_i) \cdot \delta \boldsymbol{P}_i \geq 0 \quad \forall \delta \boldsymbol{P}_i$$

E quindi tali vettori soddisfano all'unica richiesta che imponiamo ai vincoli non dissipativi, cioè la (7.1).