Principi di Meccanica dei Corpi Rigidi: Baricentro, Forze e Moto Piano

Osservazioni

• (i) Nel caso particolare delle forze peso si ha p_i = p_i k = m_i g k, dove g è l'accelerazione di gravità, uguale per tutti i punti, m_i è la massa dell'i-esimo punto P_i e k è la direzione della verticale, volta verso il basso; segue allora, semplificando per g al numeratore e al denominatore della (5.2), che il baricentro del corpo rigido coincide con il suo centro di massa:

  G − O = &frac;∑_i p_i (P_i − O)}{p} = &frac;∑_i m_i (P_i − O)}{m}

  essendo p e m il peso e la massa totali del corpo (ricordiamo però che il centro di massa esiste per ogni distribuzione di massa e indipendentemente dalla presenza di forze peso, mentre il baricentro esiste solo per un corpo rigido in un campo di forze peso).

• (ii) Quanto detto nel caso di un sistema di forze applicate in punti P_i vale naturalmente nel caso di forze distribuite con continuità, sostituendo formalmente alle somme sui punti gli integrali sul dominio (volume, superficie o linea per corpi rigidi tri-, bi- e monodimensionali), e alle forze F_i le forze dF = F dΩ relative all'elemento infinitesimo dΩ, essendo F la forza specifica. Il centro G delle forze è allora dato da:

  G − O = &frac;∫ (P − O) dF}{R} = &frac;∫ (P − O) F dΩ}{R}

  (R = ∫ dF = ∫ F dΩ) : (5.3)

  Nel caso particolare del baricentro, si ha così:

  G − O = &frac;∫ (P − O) dp}{R} = &frac;∫ (P − O) k dΩ}{p} = &frac;∫ (P − O) γ dΩ}{m}

  (5.4)

  dove p = ∫ dp = ∫ k dΩ = ∫ γ g dΩ e m = ∫ γ dΩ, con k e γ peso specifico e densità.

  Proiettando la relazione vettoriale (5.4) sugli assi cartesiani si ottengono le componenti cartesiane del centro delle forze:

  x_G = &frac;∫ x dF}{R} = &frac;∫ x F dΩ}{R}; y_G = &frac;∫ y dF}{R} = &frac;∫ y F dΩ}{R}; z_G = &frac;∫ z dF}{R} = &frac;∫ z F dΩ}{R}

• (iii) La proprietà (5.1) definisce intrinsecamente il centro delle forze, indipendentemente dalla scelta del punto O rispetto al quale calcolare la posizione di G; tale proprietà è molto importante, perché la scelta di un punto per il quale la somma ∑_i F_i (P_i − G) si annulla consente utili semplificazioni nel calcolo di alcune quantità meccaniche; passando a componenti cartesiane ortogonali, e adottando la descrizione continua, la proprietà ∫ (P − G) dm = ∫ (P − G) γ dΩ = 0 implica ad esempio, scegliendo un riferimento con origine in G, che:

  • ∫ x γ(x, y, z) dΩ = 0;
  • ∫ y γ(x, y, z) dΩ = 0;
  • ∫ z γ(x, y, z) dΩ = 0.

Moto Rigido Piano: Calcolo delle Quantità Meccaniche

In vista delle applicazioni alla dinamica del corpo rigido e dei sistemi di corpi rigidi, qui di seguito diamo una breve sintesi (senza dimostrazioni) delle formule per il calcolo delle quantità meccaniche Q, K, T per un corpo rigido che si muove in un piano fisso e quindi, per il teorema di Eulero, con atto di moto o traslatorio o rotatorio, con velocità angolare ω di direzione costante.

Ricordiamo inoltre che Q, K, T sono lineari nella distribuzione di massa, per cui le quantità meccaniche per un sistema di corpi rigidi si possono calcolare come la somma delle quantità corrispondenti ad ogni corpo rigido del sistema.

Il Calcolo di Q, K, T

Consideriamo un corpo rigido bidimensionale in moto nel piano (O;X;Y); indichiamo con m la sua massa, con G il suo baricentro e con ω = θ̇ k la velocità angolare, essendo θ l'angolo di rotazione del corpo. Applicando a questa situazione particolare le definizioni generali delle quantità meccaniche Q, K e T si ottengono le seguenti regole di calcolo:

Quantità di Moto (Q)

La quantità di moto Q si può facilmente calcolare come:

Q = m v_G

Momento della Quantità di Moto (K)

Consideriamo il momento della quantità di moto K.

• (i) Se l'atto di moto è traslatorio, il momento della quantità di moto rispetto ad un generico punto A si può calcolare come il momento del vettore quantità di moto Q pensato applicato nel baricentro G, cioè:

  K_A = (G − A) × Q = (G − A) × m v_G

  In particolare quindi nell'atto di moto traslatorio il momento delle quantità di moto rispetto al baricentro è nullo: K_G = 0.

• (ii) Se l'atto di moto è rotatorio, e se il corpo rigido appartiene ad un piano fisso ed è in moto nel piano stesso:

  • (a) rispetto al baricentro G e rispetto al C.I.R. C si ha:

    K_G = I_G ω &implies; K_G = I_G θ̇;

    K_C = I_C ω &implies; K_C = I_C θ̇;

    dove I_G e I_C sono il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse ortogonale al piano per G e C rispettivamente (in breve, il momento di inerzia rispetto a G e C);