Principio di d'Alembert: formulazione, forze d'inerzia e moto del baricentro

Principio di d'Alembert

10 Principio di d'Alembert.
Sia dal punto di vista della meccanica newtoniana (equazioni cardinali della dinamica e della statica), sia dal punto di vista della meccanica analitica (relazione simbolica della dinamica e principio dei lavori virtuali), la statica appare naturalmente come un caso particolare della dinamica. Nella scrittura delle equazioni di un problema dinamico può però essere utile, soprattutto se chi deve affrontare il problema ha maggiore esperienza nell'impostare problemi di equilibrio, partire dal punto di vista dell'equilibrio: in questo approccio, che illustreremo nel seguito per il caso particolare di moti rigidi piani, consiste il cosiddetto principio di d'Alembert.

Concetto formale

Se consideriamo le equazioni di equilibrio del punto materiale e le equazioni del risultante e del momento, dal punto di vista formale esse consistono nell'uguagliare a zero la somma di campi vettoriali che sono dati dalle forze esterne attive e reattive, o dai momenti delle forze esterne attive e reattive. Analogamente, in meccanica analitica (e per un sistema con vincoli bilateri) si uguaglia a zero la somma dei lavori virtuali delle forze attive, esterne e interne.

Da questo punto di vista, l'equazione fondamentale della dinamica del punto, da cui seguono poi le equazioni cardinali, scritta nella forma F + F_reattive + (−ma) = 0 ; (10.1)

esprime l'annullamento di una somma in cui accanto alle forze effettive compare il termine −ma: evidentemente tale termine non rappresenta l'interazione tra il punto ed un sistema fisico esterno, ma dal punto di vista puramente formale la (10.1) può essere vista come un'equazione di equilibrio. Come vedremo nel seguito questo punto di vista è generalizzabile ad ogni sistema, per cui introduciamo la seguente definizione.

Definizione

Dato un punto materiale P di massa m ed accelerazione a, la forza d'inerzia agente sul punto è il vettore F(m) := −m a : (10.2)

Trattando tale vettore formalmente come una forza, è immediata la generalizzazione ad un sistema esteso, sia nella descrizione particellare che continua; in particolare definiamo il risultante R(m) ed il momento M(m) delle forze di inerzia, dati per un sistema N di punti materiali P_i da

R(m) := Σ_{i=1}^N F(m)_i = − Σ_{i=1}^N m_i a_i ; (10.3)
M(m)_A := Σ_{i=1}^N (P_i − A) × F(m)_i = − Σ_{i=1}^N (P_i − A) × m_i a_i

e per un sistema continuo, di volume V, densità ρ e distribuzione di massa dm = ρ dV, da

R(m) := ∫_V dF(m) = − ∫_V ρ a dV ; (10.4)
M(m)_A := ∫_V dM(m)_A = − ∫_V (P − A) × ρ a dV .

Fatte queste premesse, possiamo enunciare il principio di d'Alembert.

Enunciato

Principio di d'Alembert. Un problema dinamico può essere formulato come un problema di equilibrio attribuendo ad ogni massa (puntiforme) m presente nel sistema una forza d'inerzia F(m) := −m a, e ad ogni massa dm = ρ dV associata all'elemento di volume dV una forza d'inerzia dF(m) := −ρ a dV.

Osservazioni

• (i) Ripetiamo che il punto di vista di d'Alembert è solo un modo diverso di scrivere le equazioni della dinamica. In particolare, se sul sistema agiscono forze dipendenti dalla velocità (come forze viscose, ecc.) che in condizioni statiche sono ovviamente nulle, occorre tenerne esplicitamente conto nello scrivere le equazioni dell"equilibrio dinamico"; occorre inoltre, quando richiesto, introdurre le relazioni costitutive tipiche della dinamica: nel caso di vincoli scabri, ad esempio, se si utilizza il modello di attrito di Coulomb occorre ricordare che la relazione costitutiva dell'attrito dinamico è data dall'equazione |T| = f |N| (f coefficiente di attrito dinamico) e non dalla relazione |T| ≤ μ_s |N| (μ_s coefficiente di attrito statico).
• (ii) Per sistemi privi di massa non si ha evidentemente coincidenza tra equazioni statiche e dinamiche, per cui proprietà dedotte dal caso dell'equilibrio continuano a valere anche in situazioni di moto: ad esempio, il fatto che in un sistema articolato un'asta rettilinea di massa trascurabile incernierata agli estremi e senza forze distribuite al suo interno (puntone o tirante) eserciti sulle cerniere un'azione diretta come l'asta stessa sussiste anche durante il moto.

In base al principio di d'Alembert, le prime due equazioni cardinali della dinamica possono scriversi nella forma di equazioni di equilibrio di risultante e momento:

R + R' + R(m) = 0 ;
M_A + M'_A + M(m)_A = 0 ; (10.5)

facendo intervenire accanto alle forze esterne attive e reattive le forze di inerzia.

Proprietà delle forze d'inerzia e teorema

Analizziamo ora le proprietà di una generica distribuzione di forze di inerzia. Per quanto riguarda il risultante R(m), si vede facilmente che esso è sempre uguale alla forza d'inerzia che avrebbe un punto con la massa totale del sistema e con l'accelerazione del centro di massa, indipendentemente dal fatto che il sistema sia un corpo rigido o meno; vale infatti il seguente risultato.

Teorema

Teorema. Per ogni sistema con massa m e centro di massa G il risultante R(m) delle forze d'inerzia è dato da R(m) := −m a_G : (10.6)

Dimostrazione

Ricordiamo che il centro di massa di un sistema è definito come l'unico punto G per cui è

Σ_{i=1}^N m_i (P_i − G) = 0 ; (10.7)

derivando due volte rispetto al tempo tale relazione segue che

Σ_{i=1}^N m_i (a_i − a_G) = 0 ⇒ R(m) = − Σ_{i=1}^N m_i a_i = − Σ_{i=1}^N m_i a_G = − m a_G .

In base a tale risultato, si vede immediatamente che la prima delle (10.5) non è altro che la prima equazione cardinale della dinamica scritta nella forma di teorema del moto del baricentro.