Principio dei Lavori Virtuali: Equilibrio e Sistemi Meccanici

Principio dei Lavori Virtuali

Equilibrio di un sistema con vincoli non dissipativi

Consideriamo ora il caso dell'equilibrio ($v_i = 0, a_i = 0$); tutte e sole le posizioni di equilibrio, ottenibili come eventuali soluzioni delle equazioni di Newton $F_i + f_{v,i} = 0$ (e quindi delle equazioni cardinali che ne sono una diretta conseguenza) dopo aver eliminato le reazioni vincolari, sono ottenibili dalla Relazione simbolica della statica:

$\sum_{i=1}^N F_i \cdot \delta P_i \leq 0$     (8.1)

che storicamente prende il nome di Principio dei lavori virtuali. Riassumendo quanto detto, tale principio può quindi enunciarsi nel modo seguente:

Definizione del Principio dei Lavori Virtuali

Per ogni sistema meccanico soggetto a vincoli non dissipativi, condizione necessaria e sufficiente di equilibrio è che il lavoro virtuale delle forze attive applicate al sistema non sia positivo, per ogni spostamento virtuale del sistema:

$\delta L = \sum_{i=1}^N F_i \cdot \delta P_i \leq 0$     (8.2)

Pertanto, se per un sistema esiste una configurazione di equilibrio, considerando uno spostamento virtuale dei suoi punti a partire da tale configurazione, non è possibile che il lavoro virtuale delle forze attive sia positivo (condizione necessaria); viceversa, se analizzando la (8.2) si determina una configurazione tale che il lavoro delle forze attive a partire da tale configurazione sia non positivo per ogni spostamento virtuale, allora tale configurazione è senz'altro di equilibrio (condizione sufficiente).

Analisi in dettaglio dell'espressione del lavoro virtuale

Consideriamo un sistema di $N$ punti materiali, soggetto a vincoli bilateri, fissi o mobili; la generica configurazione e lo spostamento virtuale sono individuati da $n$ coordinate e dalle loro $n$ variazioni, che con notazione vettoriale indicheremo anche con $q$ e $\delta q$:

$q := (q_1, q_2, \dots, q_n); \quad \delta q := (\delta q_1, \delta q_2, \dots, \delta q_n)$     (8.3)

La posizione di ogni punto del sistema è quindi data da $P_i = P_i(q, t)$, dipende cioè da $n$ parametri e dal tempo (la dipendenza esplicita dal tempo $t$ manca se i vincoli sono fissi). Essendo lo spostamento virtuale di ogni punto dato da:

$\delta P_i = \sum_{k=1}^n \frac{\partial P_i}{\partial q_k} \delta q_k$

il lavoro virtuale $\delta L$ delle forze attive è quindi:

$\delta L = \sum_{i=1}^N F_i \cdot \delta P_i = \sum_{i=1}^N F_i \cdot \left( \sum_{k=1}^n \frac{\partial P_i}{\partial q_k} \delta q_k \right) = \sum_{k=1}^n \left( \sum_{i=1}^N F_i \cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k} \right) \delta q_k$

Introducendo le $n$ quantità $Q_k$:

• $Q := (Q_1, Q_2, \dots, Q_n)$
• $Q_k := \sum_{i=1}^N F_i \cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k} \quad (k = 1, 2, \dots, n)$

il lavoro virtuale si può allora esprimere come il prodotto scalare della sollecitazione attiva $Q$ per lo spostamento virtuale $\delta q$:

$\delta L = Q \cdot \delta q = \sum_{k=1}^n Q_k \delta q_k$

Essendo i vincoli bilateri, le posizioni di equilibrio si ottengono dall'equazione:

$\sum_{k=1}^n Q_k \delta q_k = 0$     (8.6)

Equilibrio di sistemi olonomi

Facciamo ora l'ipotesi che il sistema sia olonomo, cioè che ammetta un numero $n$ di spostamenti virtuali indipendenti, uguali al numero delle coordinate $q$; supponiamo cioè che non solo le $q_k$ siano indipendenti, ma che lo siano anche le loro variazioni $\delta q_k$.

Perché la (8.6) sia soddisfatta per ogni spostamento virtuale, la condizione necessaria e sufficiente è quindi che le singole componenti della sollecitazione siano nulle; si ottiene così un sistema di $n$ equazioni:

$Q_1 = 0$
$Q_2 = 0$
$\dots$
$Q_n = 0$     (8.7)

in numero pari al numero di gradi di libertà del sistema.

Metodo di sovrapposizione

Nelle applicazioni a sistemi olonomi con più gradi di libertà, può essere utile il seguente Metodo di sovrapposizione: per calcolare la componente $Q_k$ della sollecitazione attiva secondo la coordinata $q_k$, possiamo considerare lo spostamento virtuale parziale ottenuto variando la sola coordinata $k$-esima:

$\delta q_k \neq 0; \quad \delta q_i = 0 \text{ se } i \neq k$

e il corrispondente lavoro virtuale parziale, che indichiamo con $\delta L_k$; la componente $Q_k$ è allora data dal rapporto:

$Q_k = \frac{\delta L_k}{\delta q_k}$

il lavoro virtuale complessivo è poi dato dalla somma degli $n$ lavori parziali così calcolati.