Principio dei lavori virtuali e potenziale in statica

Equilibrio di un sistema con sollecitazione conservativa

Nel caso di sistema olonomo, una formulazione più sintetica e vantaggiosa del principio dei lavori virtuali si ha nel caso di sollecitazione conservativa. Per una sollecitazione applicata ad un generico sistema, diciamo che essa è conservativa se esiste una funzione U = U(q; t) della configurazione e del tempo, la cui variazione virtuale uguaglia il lavoro virtuale delle forze attive, ovvero tale che:

𝛿L = 𝛿U , Q_k = ∂U(q; t)/∂q_k (k = 1, 2, ..., n) (8.8)

In particolare, nel caso statico abbiamo vincoli fissi e forze non dipendenti dal tempo, per cui U = U(q). Le (8.7) e (8.8) implicano allora che tutte e sole le posizioni di equilibrio siano punti di stazionarietà del potenziale:

equilibrio , Q_k = 0 , ∂U(q)/∂q_k = 0 , 𝛿U = 0

Riassumendo, si ha il seguente risultato.

8.2 Teorema della stazionarietà del potenziale

Per ogni sistema meccanico soggetto a vincoli non dissipativi, bilateri ed olonomi, e a sollecitazione attiva conservativa di potenziale U, condizione necessaria e sufficiente di equilibrio è che il potenziale sia stazionario nella configurazione di equilibrio: 𝛿U = 0.

Il principio dei lavori virtuali e le equazioni cardinali

Osserviamo anzitutto che per un corpo rigido il più generale spostamento virtuale (che è compatibile con la proprietà di rigidità) è rototraslatorio, per cui il lavoro virtuale di un qualunque sistema di vettori applicati al corpo rigido è dato da:

𝛿L := Σ^N_i=1F_i ⋅ 𝛿P_i = Σ^N_i=1F_i ⋅ (𝛿A + δω ∧ (P_i - A)) = R ⋅ 𝛿A + δω ⋅ M_A (8.9)

Da tale relazione e dal principio di azione e reazione segue allora che il lavoro virtuale delle forze interne al corpo rigido è nullo, per cui se anche interpretiamo tali forze come reazioni vincolari interne si tratta comunque di forze esercitate da un vincolo non dissipativo.

Se consideriamo ora le condizioni di equilibrio del corpo rigido libero, dalla (8.9) e dall'arbitrarietà di 𝛿A e di δω riotteniamo il risultato già noto: le condizioni caratteristiche di equilibrio del corpo rigido libero sono le equazioni cardinali del risultante e del momento: R = 0, M_A = 0.

Val la pena di osservare che la sufficienza delle equazioni cardinali per l'equilibrio del corpo rigido segue naturalmente dall'impostazione della meccanica analitica, senza che si sia dovuto introdurre il postulato della forza come cursore (il che ha permesso, come visto in precedenza, di interpretare un sistema di forze soddisfacenti le equazioni del risultante e del momento come equivalente al sistema nullo). Considerazioni del tutto analoghe si possono fare per quanto riguarda la sufficienza delle equazioni cardinali per il moto del corpo rigido.

Se consideriamo invece un sistema non rigido (per esempio costituito da corpi e punti materiali tra loro vincolati) che ammette uno spostamento rototraslatorio come spostamento virtuale ed applichiamo il principio dei lavori virtuali come condizione necessaria, le equazioni cardinali del risultante e del momento devono essere soddisfatte e sono quindi, come già sappiamo, condizioni necessarie di equilibrio; tali equazioni non sono però sufficienti perché lo spostamento rototraslatorio non è il più generale spostamento virtuale di un sistema non rigido.

9. Sollecitazione conservativa e potenziale

Diamo una breve sintesi dei diversi modi in cui in Meccanica Newtoniana (teorema dell'energia) e in Meccanica Analitica (teorema della stazionarietà del potenziale ed equazioni di Lagrange) si introduce la nozione di potenziale.

Potenziale di una forza posizionale

Il primo modo di introdurre il concetto di potenziale è partendo da un singolo campo di forza di tipo posizionale: F = F(P); in tal caso dire che il campo di forze F è conservativo corrisponde ad una delle seguenti affermazioni, tra loro equivalenti nell'ipotesi che il campo di forze F sia definito in una regione semplicemente connessa di R³:

1. il lavoro infinitesimo della forza F è un differenziale esatto, cioè esiste una funzione U = U(P) tale che:
   d*L(P) := F(P) ⋅ dP = dU(P) (9.1)
2. il lavoro della forza F lungo un qualunque cammino regolare γ da P₀ a P è funzione solo di P₀ e P, ma non di γ, per cui possiamo introdurre una funzione U tale che:
   ∫_P0^P F(r) ⋅ dr = U(P) - U(P₀)
   U(P) = U(P₀) + ∫_P0^P F(r) ⋅ dr (9.2)
   essendo l'integrale calcolato lungo un qualunque cammino tra P₀ e P;
3. il lavoro lungo un percorso chiuso (ciclo) è nullo:
   ∮ F ⋅ dr = 0
4. la potenza Π := F(P) ⋅ v_P della forza F è la derivata totale rispetto al tempo t di una funzione U(P):
   Π = dU(P)/dt
5. la forza F del campo è il gradiente di una funzione U: F = gradU
6. la forza F del campo è irrotazionale: rotF = 0

Esempi ben noti di campi di forze con tali proprietà sono i campi centrali e posizionali (gravitazionale, elettrostatico, elastico), il campo di forze peso e più in generale i campi di forze costanti, e, per un osservatore non inerziale uniformemente ruotante rispetto ad un osservatore inerziale, il campo di forze centrifughe.

Potenziale di una sollecitazione posizionale

Nell'applicazione del teorema dell'energia cinetica a sistemi estesi (sistemi di punti, corpo rigido e sistemi articolati), è utile introdurre una generalizzazione della precedente nozione di potenziale, suggerita dalla definizione (i). Consideriamo una generica sollecitazione posizionale S applicata al sistema, costituita da un insieme di forze F_i (i = 1, 2, ..., N) applicate in punti P_i e dipendenti solo dalle posizioni dei punti del sistema, e da coppie di momenti C_j applicate a corpi rigidi del sistema; diciamo allora che la sollecitazione S è conservativa se il lavoro infinitesimo complessivo della sollecitazione è un differenziale esatto, cioè se esiste una funzione U della configurazione del sistema tale che:

d*L := Σ_i F_i ⋅ dP_i + Σ_j C_j ⋅ δω_j = dU