Problemi di Termodinamica: Calcolo di Lavoro, Calore ed Energia Interna per Gas Ideali

Problema 1: Calcolo della Temperatura Finale in un Processo Isobarico

4,19 moli di gas ideale sono contenute in un cilindro munito a un'estremità con un pistone mobile. La temperatura iniziale del gas è 27,0 °C e la pressione è costante. Come parte di un progetto di design della macchina, calcolare la temperatura finale del gas una volta che ha compiuto 1,75 × 10³ J di lavoro.

Dati Iniziali:

• n = 6 moli (Nota: il testo del problema indica "4,19 moli", ma il calcolo finale fornito suggerisce che siano state utilizzate 6 moli. Si mantiene il valore implicito nel calcolo originale.)
• Processo: isobarico (P = costante)
• T_i = 27 °C = 300,15 K
• W = 1,75 × 10³ J

Formule e Calcoli:

Per un processo isobarico, il lavoro compiuto dal gas è dato da:

W = P(V_f - V_i)

Dall'equazione di stato dei gas ideali (PV = nRT), possiamo esprimere il lavoro in termini di temperatura:

W = nR(T_f - T_i)

Risolvendo per T_f:

W + nRT_i = nRT_f

T_f = (W + nRT_i) / (nR)

T_f = W/(nR) + T_i

Sostituendo i valori (R = 8,314 J/(mol·K)):

T_f = (1,75 × 10³ J) / (6 mol × 8,314 J/(mol·K)) + 300,15 K

T_f = 1750 / 49,884 + 300,15

T_f = 35,08 + 300,15

T_f = 335,23 K

Il risultato finale fornito è:

T_f = 335,24 K

Problema 2: Lavoro Compiuto in un Processo Ciclico (Figura 19.8a)

Considerare il ciclo chiuso 1-3-2-4-1 mostrato in Figura 19.8a. Questo è un processo ciclico in cui lo stato finale e quello iniziale sono gli stessi.

a) Calcolo del Lavoro Totale

Calcolare il lavoro totale compiuto dal sistema in questo processo e dimostrare che è uguale all'area racchiusa dal ciclo.

• Processo 1-3: isobarico
• Processo 3-2: isocoro
• Processo 2-4: isobarico
• Processo 4-1: isocoro

Il lavoro totale (W_tot) è la somma dei lavori compiuti in ciascun segmento:

W_tot = W_1-3 + W_3-2 + W_2-4 + W_4-1

Poiché i processi 3-2 e 4-1 sono isocori (volume costante), il lavoro compiuto è zero:

W_3-2 = 0

W_4-1 = 0

Quindi:

W_tot = W_1-3 + W_2-4

W_tot = P₁(V₃ - V₁) + P₂(V₄ - V₂)

Dalla figura (implicita), si deduce che V₃ = V₂ e V₄ = V₁ (essendo 3-2 e 4-1 isocori).

Sostituendo:

W_tot = P₁(V₂ - V₁) + P₂(V₁ - V₂)

W_tot = P₁(V₂ - V₁) - P₂(V₂ - V₁)

W_tot = (P₁ - P₂)(V₂ - V₁)

Questo risultato rappresenta l'area di un rettangolo con lati (P₁ - P₂) e (V₂ - V₁), che corrisponde all'area racchiusa dal ciclo nel diagramma PV.

b) Rapporto del Lavoro in Senso Opposto

Qual è il rapporto tra il lavoro svolto nel processo della parte (a) e quello compiuto attraverso il ciclo in senso opposto, 1-4-2-3-1? Spiegare.

• Processo 1-4: isocoro
• Processo 4-2: isobarico
• Processo 2-3: isocoro
• Processo 3-1: isobarico

Il lavoro totale (W_tot) per il ciclo in senso antiorario è:

W_tot = W_1-4 + W_4-2 + W_2-3 + W_3-1

Poiché i processi 1-4 e 2-3 sono isocori, il lavoro compiuto è zero:

W_1-4 = 0

W_2-3 = 0

Quindi:

W_tot = W_4-2 + W_3-1

W_tot = P₂(V₂ - V₄) + P₁(V₁ - V₃)

Dalla figura (implicita), si deduce che V₄ = V₁ e V₃ = V₂.

Sostituendo:

W_tot = P₂(V₂ - V₁) + P₁(V₁ - V₂)

W_tot = P₂(V₂ - V₁) - P₁(V₂ - V₁)

W_tot = (P₂ - P₁)(V₂ - V₁)

Spiegazione: L'area racchiusa dal ciclo è la stessa, ciò che cambia è il segno del lavoro. Se il ciclo è percorso in senso orario, il lavoro netto è positivo (il sistema compie lavoro). Se il ciclo è percorso in senso antiorario, il lavoro netto è negativo (lavoro compiuto sul sistema).

Problema 3: Trasferimento di Calore e Lavoro in un Ciclo Termodinamico (Figura 19.23)

Un sistema è sottoposto al ciclo di Figura 19.23, dallo stato 'a' a 'b' e ritorno ad 'a'. Il valore assoluto del trasferimento di calore durante un ciclo è di 7200 J.

a) Assorbimento o Emissione di Calore

Il sistema assorbe o emette calore quando percorre il ciclo nella direzione indicata in figura? Come si fa a saperlo?

Il calore dipende dal percorso. Per un ciclo, il lavoro netto è l'area racchiusa. Se il ciclo è percorso in senso orario (come tipicamente indicato per un motore termico), il lavoro netto è positivo (W > 0), e il calore netto assorbito è positivo (Q > 0). Se il ciclo è percorso in senso antiorario, il lavoro netto è negativo (W < 0), e il calore netto assorbito è negativo (Q < 0), il che significa che il calore viene emesso.

Dato che il problema non specifica la direzione, ma il valore assoluto del calore è 7200 J, e le risposte successive implicano un ciclo orario (W > 0), si assume che il sistema assorba calore (Q = +7200 J) quando percorre il ciclo nella direzione indicata (presumibilmente oraria).

b) Lavoro Compiuto dal Sistema

Qual è il lavoro W compiuto dal sistema in un ciclo?

Per un ciclo chiuso, la variazione di energia interna è zero (ΔU = 0). Dalla Prima Legge della Termodinamica (ΔU = Q - W), si ha:

0 = Q - W

Quindi, Q = W.

Dato che il valore assoluto del calore è 7200 J, e assumendo che il sistema assorba calore (Q = +7200 J) per compiere lavoro:

W = 7200 J

Il sistema compie lavoro sull'ambiente circostante.

c) Ciclo in Senso Antiorario

Se il sistema percorre il ciclo in senso antiorario, assorbe o emette calore durante il ciclo? Quanto calore viene assorbito o rilasciato in un ciclo in senso antiorario?

Se il ciclo è percorso in senso antiorario, il lavoro compiuto dal sistema è negativo (W < 0). Poiché ΔU = 0 per un ciclo, anche il calore netto scambiato sarà negativo (Q < 0).

Pertanto, il sistema emette calore.

La grandezza del calore rilasciato è la stessa, ma con segno opposto:

Q = -7200 J

Il calore rilasciato è 7200 J.

Problema 4: Processi Termodinamici in un Motore (Volume Fisso e Pressione Costante)

In un esperimento per simulare le condizioni all'interno di un motore di automobile, 645 J di calore vengono trasferiti a 0,185 moli d'aria contenute in un cilindro il cui volume è 40,0 cm³. Inizialmente l'aria si trova a una pressione di 3,00 × 10⁵ Pa e a una temperatura di 780 K.

Dati Iniziali:

• Q = 645 J
• n = 0,185 mol
• V = 40,0 cm³ = 40,0 × 10⁻⁶ m³
• P_i = 3,00 × 10⁵ Pa
• T_i = 780 K

Si supponga che l'aria sia quasi azoto puro e si utilizzino i dati della Tabella 19.1 (non fornita, ma i valori di C_v e C_p sono dati nelle soluzioni).

a) Temperatura Finale a Volume Costante

Se il volume del cilindro è fisso, quale temperatura finale raggiunge l'aria? Disegnare un grafico PV per questo processo.

Per un processo a volume costante (isocoro), il lavoro W = 0. Dalla Prima Legge della Termodinamica (Q = ΔU + W), si ha Q = ΔU.

Per un gas ideale, ΔU = nC_vΔT.

Dalla soluzione fornita, C_v = 20,76 J/(mol·K).

Q = nC_v(T_f - T_i)

Risolvendo per T_f:

(T_f - T_i) = Q / (nC_v)

T_f = T_i + Q / (nC_v)

T_f = 780 K + 645 J / (0,185 mol × 20,76 J/(mol·K))

T_f = 780 K + 645 / 3,8396

T_f = 780 K + 168,00 K

T_f = 948,00 K

Il risultato finale fornito è:

T_f = 947,97 K

Grafico PV: Una linea verticale verso l'alto (aumento di pressione e temperatura a volume costante).

b) Temperatura Finale a Pressione Costante

Calcolare la temperatura finale dell'aria se il volume del cilindro è permesso di aumentare mentre la pressione rimane costante. Disegnare un grafico PV per questo processo.

Per un processo a pressione costante (isobarico), il calore scambiato è Q = nC_pΔT.

Dalla soluzione fornita, C_p = 29,7 J/(mol·K).

Q = nC_p(T_f - T_i)

Risolvendo per T_f:

ΔT = Q / (nC_p)

(T_f - T_i) = Q / (nC_p)

T_f = T_i + Q / (nC_p)

T_f = 780 K + 645 J / (0,185 mol × 29,7 J/(mol·K))

T_f = 780 K + 645 / 5,4945

T_f = 780 K + 117,39 K

T_f = 897,39 K

Il risultato finale fornito è:

T_f = 899,89 K (Nota: piccola discrepanza dovuta probabilmente ad arrotondamenti intermedi o valori leggermente diversi di C_p.)

Grafico PV: Una linea orizzontale verso destra (aumento di volume e temperatura a pressione costante).

Problema 5: Processo Isoterma e Scambio di Calore

La temperatura di 0,150 moli di gas ideale è mantenuta costante a 77,0 °C, mentre il suo volume si riduce al 25,0% del suo volume iniziale. La pressione iniziale del gas è di 1,25 atm.

Dati Iniziali:

• Processo: isotermico (T = costante)
• T = 77,0 °C = 350,15 K
• n = 0,150 mol
• V_f = 0,25 × V_i
• P_i = 1,25 atm = 1,25 × 101325 Pa = 126656,25 Pa
• R = 8,314 J/(mol·K)

a) Lavoro Compiuto dal Gas

Determinare il lavoro compiuto dal gas.

Per un processo isotermico, il lavoro compiuto dal gas è dato da:

W = nRT ln(V_f / V_i)

Sostituendo V_f = 0,25 V_i:

W = nRT ln(0,25 V_i / V_i)

W = nRT ln(0,25)

W = 0,150 mol × 8,314 J/(mol·K) × 350,15 K × ln(0,25)

W = 0,150 × 8,314 × 350,15 × (-1,386)

W = 436,68 × (-1,386)

W = -605,2 J

Il risultato finale fornito è:

W = -605,63 J

Il segno negativo indica che il lavoro è compiuto sull'ambiente circostante, o che l'ambiente compie lavoro sul sistema.

b) Variazione di Energia Interna

Determinare la variazione di energia interna.

Per un gas ideale in un processo isotermico (temperatura costante), la variazione di energia interna è ΔU = 0.

c) Scambio di Calore con l'Ambiente

Il gas scambia calore con l'ambiente? Se sì, quanto? Il gas assorbe o emette calore?

Sì, il gas scambia calore con l'ambiente circostante.

Dalla Prima Legge della Termodinamica (ΔU = Q - W) e sapendo che ΔU = 0:

0 = Q - W

Quindi, Q = W.

Poiché W = -605,63 J:

Q = -605,63 J

Il segno negativo indica che il calore viene rilasciato dal gas all'ambiente. La grandezza del calore rilasciato è 605,63 J.

Problema 6: Riscaldamento di Anidride Carbonica a Pressione Costante

Un cilindro contiene 0,250 moli di anidride carbonica (CO₂) gassosa a una temperatura di 27,0 °C. Il cilindro ha un pistone senza attrito, che mantiene una pressione costante di 1,00 atm sul gas. Il gas viene riscaldato fino a quando la sua temperatura sale a 127,0 °C. Si presuma che la CO₂ sia trattata come gas ideale.

Dati Iniziali:

• n = 0,250 mol
• T_i = 27,0 °C = 300,15 K
• P = 1,00 atm = 1,013 × 10⁵ Pa (costante)
• T_f = 127,0 °C = 400,15 K

a) Grafico PV

Disegnare un grafico PV per questo processo.

Grafico PV: Una linea orizzontale verso destra (aumento di volume e temperatura a pressione costante).

b) Lavoro Compiuto dal Gas

Quanto lavoro compie il gas in questo processo?

Per un processo isobarico, W = P(V_f - V_i).

Usando PV = nRT, possiamo trovare V_i e V_f:

V_i = nRT_i / P

V_i = (0,250 mol × 8,314 J/(mol·K) × 300,15 K) / (1,013 × 10⁵ Pa)

V_i = 624,06 / 101300 = 0,00616 m³ = 6,16 L

V_f = nRT_f / P

V_f = (0,250 mol × 8,314 J/(mol·K) × 400,15 K) / (1,013 × 10⁵ Pa)

V_f = 831,4 / 101300 = 0,00821 m³ = 8,21 L

Ora calcoliamo il lavoro:

W = P(V_f - V_i)

W = 1,013 × 10⁵ Pa × (0,00821 m³ - 0,00616 m³)

W = 1,013 × 10⁵ Pa × (0,00205 m³)

W = 207,66 J

Il risultato finale fornito è:

W = 207,7 J

c) Su Cosa Viene Compiuto il Lavoro?

Su cosa viene compiuto il lavoro?

Il lavoro è compiuto sul pistone (e quindi sull'ambiente circostante).

d) Variazione di Energia Interna

Di quanto cambia l'energia interna del gas?

ΔU = nC_vΔT

ΔT = T_f - T_i = 400,15 K - 300,15 K = 100 K

Per CO₂, C_v = 28,46 J/(mol·K) (valore tipico per CO₂ a temperatura ambiente, sebbene possa variare).

ΔU = (0,250 mol) × (28,46 J/(mol·K)) × (100 K)

ΔU = 711,5 J

e) Calore Fornito al Gas

Quanto calore è stato fornito al gas?

Dalla Prima Legge della Termodinamica: Q = ΔU + W

Q = 711,5 J + 207,7 J

Q = 919,2 J

f) Lavoro con Pressione Diversa

Quanto lavoro sarebbe stato compiuto se la pressione fosse stata 0,50 atm?

Per un processo isobarico, il lavoro può essere espresso come W = nRΔT.

Poiché n, R e ΔT (100 K) rimangono gli stessi, il lavoro compiuto sarebbe lo stesso, indipendentemente dal valore della pressione costante.

W = nRΔT = 0,250 mol × 8,314 J/(mol·K) × 100 K

W = 207,85 J

Il risultato finale fornito è:

Il lavoro sarebbe lo stesso: 207,85 J.

Problema 7: Compressione Adiabatica di Monossido di Carbonio

Due moli di monossido di carbonio (CO) si trovano a una pressione di 1,2 atm e occupano un volume di 30 litri. Poi il gas viene compresso adiabaticamente a un terzo di questo volume. Si supponga che il gas abbia un comportamento ideale.

Dati Iniziali:

• n = 2 mol
• P_i = 1,2 atm = 1,2 × 101325 Pa = 121590 Pa
• V_i = 30 L = 30 × 10⁻³ m³
• V_f = V_i / 3 = 10 L = 10 × 10⁻³ m³
• Processo: adiabatico (Q = 0)

Per il monossido di carbonio (CO), un gas biatomico, il rapporto dei calori specifici (γ) è circa 1,4.

a) Variazione di Energia Interna

Qual è la variazione di energia interna? L'energia interna aumenta o diminuisce? La temperatura del gas aumenta o diminuisce durante il processo? Spiegare.

Dalla Prima Legge della Termodinamica: ΔU = Q - W.

Poiché il processo è adiabatico, Q = 0.

Quindi, ΔU = -W.

Per una compressione, il lavoro compiuto dal gas (W) è negativo (W < 0). Pertanto, ΔU = - (negativo) = positivo.

L'energia interna aumenta.

Poiché l'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura (ΔU = nC_vΔT), se ΔU aumenta, anche la temperatura aumenta.

Spiegazione: Durante una compressione adiabatica, il lavoro viene compiuto sul gas dall'ambiente esterno. Poiché non c'è scambio di calore, tutta l'energia del lavoro si trasforma in energia interna del gas, aumentandone la temperatura.

Problema 8: Espansione Adiabatica di Biossido di Zolfo

Una quantità di biossido di zolfo (SO₂) gassoso occupa un volume di 5,00 × 10⁻³ m³ a una pressione di 1,10 × 10⁵ Pa. Il gas si espande adiabaticamente fino a un volume di 1,00 × 10⁻² m³. Si supponga che il gas abbia un comportamento ideale.

Dati Iniziali:

• V_i = 5,00 × 10⁻³ m³
• P_i = 1,10 × 10⁵ Pa
• V_f = 1,00 × 10⁻² m³
• Processo: adiabatico (Q = 0)

Per il biossido di zolfo (SO₂), il rapporto dei calori specifici (γ) è dato come 1,29 (dalla Tabella 19.1 implicita).

a) Pressione Finale del Gas

Calcolare la pressione finale del gas.

Per un processo adiabatico di un gas ideale: P_iV_i^γ = P_fV_f^γ

Risolvendo per P_f:

P_f = P_i (V_i / V_f)^γ

P_f = 1,10 × 10⁵ Pa × (5,00 × 10⁻³ m³ / 1,00 × 10⁻² m³)^1,29

P_f = 1,10 × 10⁵ Pa × (0,5)^1,29

P_f = 1,10 × 10⁵ Pa × 0,3998

P_f = 43978 Pa

Il risultato finale fornito è:

P_f = 4,5 × 10⁴ Pa (Nota: piccola discrepanza dovuta ad arrotondamenti.)

b) Lavoro Svolto dal Gas sull'Ambiente Circostante

Quanto lavoro è svolto dal gas sull'ambiente circostante?

Per un processo adiabatico, il lavoro è dato da:

W = (P_fV_f - P_iV_i) / (1 - γ)

Usando i valori calcolati:

W = (43978 Pa × 1,00 × 10⁻² m³ - 1,10 × 10⁵ Pa × 5,00 × 10⁻³ m³) / (1 - 1,29)

W = (439,78 - 550) / (-0,29)

W = -110,22 / -0,29

W = 379,9 J

Il risultato finale fornito è:

W = 334,83 J (Nota: discrepanza significativa. Il valore fornito è più coerente con la P_f arrotondata fornita.)

c) Rapporto Temperatura Finale: Temperatura Iniziale

Determinare il rapporto temperatura finale: temperatura iniziale del gas.

Per un processo adiabatico di un gas ideale: T_iV_i^γ-1 = T_fV_f^γ-1

Risolvendo per T_f / T_i:

T_f / T_i = (V_i / V_f)^γ-1

T_f / T_i = (5,00 × 10⁻³ m³ / 1,00 × 10⁻² m³)^1,29-1

T_f / T_i = (0,5)^0,29

T_f / T_i = 0,816

Poiché T_f / T_i < 1, la temperatura finale (T_f) scende, il che è atteso per un'espansione adiabatica.

Problema 9: Flusso di Calore in Processi Termodinamici (Figura 19.29)

Un sistema termodinamico è sottoposto a un processo dallo Stato A allo Stato C, come mostrato in Figura 19.29. Lungo il percorso ABC, il lavoro W compiuto dal sistema è di 450 J. Lungo il percorso ADC, W è di 120 J. Le energie interne dei quattro stati in figura sono le seguenti: U_A = 150 J, U_B = 240 J, U_C = 680 J e U_D = 330 J.

Calcolare il flusso di calore Q per ciascuno dei quattro processi: AB, BC, AD e DC. In ogni processo, il sistema assorbe o emette calore?

Dati Iniziali:

• W_ABC = 450 J
• W_ADC = 120 J
• U_A = 150 J
• U_B = 240 J
• U_C = 680 J
• U_D = 330 J

Dalla Prima Legge della Termodinamica: Q = ΔU + W = (U_f - U_i) + W.

Per risolvere questo problema, si assumono i seguenti processi come isocori (lavoro = 0), come implicito nelle soluzioni originali:

• Processo AB: Si assume W_AB = 0 (processo isocoro).
• Processo DC: Si assume W_DC = 0 (processo isocoro).

Con queste assunzioni:

• W_ABC = W_AB + W_BC = 0 + W_BC = 450 J → W_BC = 450 J
• W_ADC = W_AD + W_DC = W_AD + 0 = 120 J → W_AD = 120 J

Calcolo del Flusso di Calore:

Flusso di calore AB:

ΔU_AB = U_B - U_A = 240 J - 150 J = 90 J

Q_AB = ΔU_AB + W_AB = 90 J + 0 J

Q_AB = 90 J

Il sistema assorbe calore.

Flusso di calore BC:

ΔU_BC = U_C - U_B = 680 J - 240 J = 440 J

Q_BC = ΔU_BC + W_BC = 440 J + 450 J

Q_BC = 890 J

Il sistema assorbe calore.

Flusso di calore AD:

ΔU_AD = U_D - U_A = 330 J - 150 J = 180 J

Q_AD = ΔU_AD + W_AD = 180 J + 120 J

Q_AD = 300 J

Il sistema assorbe calore.

Flusso di calore DC:

ΔU_DC = U_C - U_D = 680 J - 330 J = 350 J

Q_DC = ΔU_DC + W_DC = 350 J + 0 J

Q_DC = 350 J

In tutti i processi calcolati, il sistema assorbe calore.

Problema 10: Ciclo Termodinamico con Gas Monoatomico

Due moli di un gas monoatomico a comportamento ideale sono soggetti al ciclo ABC. In un ciclo completo, vengono rilasciati 800 J di energia termica dal gas. Il processo AB è svolto a pressione costante, e il processo BC a volume costante. Gli stati A e B hanno temperature T_A = 200 K e T_B = 300 K.

Dati Iniziali:

• Q_ciclo = -800 J (rilasciati)
• n = 2 mol
• T_A = 200 K
• T_B = 300 K
• R = 8,314 J/(mol·K)
• Processo AB: pressione costante (isobarico)
• Processo BC: volume costante (isocoro)

a) Grafico PV per il Ciclo

Disegnare un grafico PV per il ciclo.

Grafico PV:
AB: Linea orizzontale verso destra (espansione isobarica, T aumenta).
BC: Linea verticale verso il basso (raffreddamento isocoro, P diminuisce).
CA: Linea curva che ritorna ad A (compressione adiabatica o isoterma o generica, a seconda del problema. Qui è implicito che sia un processo che chiude il ciclo).

b) Lavoro Compiuto nel Processo CA

Quanto lavoro W è compiuto nel processo CA?

Per un ciclo completo, la variazione di energia interna è zero (ΔU_ciclo = 0).

Dalla Prima Legge della Termodinamica: ΔU_ciclo = Q_ciclo - W_ciclo.

Quindi, 0 = Q_ciclo - W_ciclo, il che significa W_ciclo = Q_ciclo.

Dato Q_ciclo = -800 J, allora W_ciclo = -800 J.

Il lavoro totale del ciclo è la somma dei lavori in ogni processo:

W_ciclo = W_AB + W_BC + W_CA

Calcolo W_AB:

Per un processo isobarico, W_AB = nR(T_B - T_A).

W_AB = (2 mol) × (8,314 J/(mol·K)) × (300 K - 200 K)

W_AB = 2 × 8,314 × 100

W_AB = 1662,8 J

Calcolo W_BC:

Per un processo isocoro, W_BC = 0.

Calcolo W_CA:

Ora possiamo trovare W_CA:

W_CA = W_ciclo - W_AB - W_BC

W_CA = -800 J - 1662,8 J - 0 J

W_CA = -2462,8 J