Relatività Ristretta: Simultaneità e Perdita di Sincronizzazione degli Orologi

Relatività della Simultaneità e Sincronizzazione degli Orologi

Il modo più semplice per valutare l'accensione simultanea di due lampadine nel sistema $S$ è quello di mettersi nel punto medio $M$ e verificare la contemporaneità, oppure di mettersi in un qualsiasi altro punto di $S$ e valutare la simultaneità prevedendo il $\Delta t$ sulla base della distanza dalle due lampadine.

Percezione della Simultaneità in Sistemi in Moto

Vogliamo però chiederci come valuta questo fenomeno chi si trova in $S'$ e vede $S$ in movimento verso di lui (si avvicina all'estremo $A$): se chi è in $M$ vede i due segnali simultanei, chi è in $M'$ non percepisce i due fenomeni simultanei in quanto vedrà prima il segnale $A$ e poi il segnale $B$ poiché vede $S$ in movimento.

Quindi: due segnali emessi simultaneamente in un sistema di riferimento non vengono percepiti simultaneamente in un qualsiasi altro sistema che vede il primo in movimento.

Questo si traduce nel fatto che anche la sincronizzazione degli orologi si perde: dati 2 orologi sincronizzati in $S$, in $S'$ la sincronizzazione si perde.

Perdita di Sincronizzazione e Fattore $\gamma$

Nel sistema $S$ metto una lampadina a metà strada tra due orologi. L'accensione della lampadina li rende sincronizzati. Da un punto $P$ di $S'$ vedo passare prima $A$ e poi $B$. Quando davanti a $P$ passa $B$, $B$ segnerà un'ora pari a quella segnata da $A$ quando $P$ era davanti a lui + il tempo impiegato per andare da $A$ a $B$ (dato che sappiamo che $A$ e $B$ sono sincronizzati in $S$).

Quindi $\Delta t$ misurato su $S = AB / V$ (se $AB = V$ allora $\Delta t=1$). Quindi quando $B$ ha davanti a sé $S'$ sarà passato un secondo per gli orologi di $S$ rispetto a quando $P$ era davanti ad $A$. Ora ci chiediamo cosa segnerà l'orologio di $S'$ quando vedrà $B$ davanti a sé. Per $S'$ la distanza tra $A$ e $B$ è contratta di un fattore $\gamma$ quindi:

$$\Delta t' = L'/V = L/\gamma V = \Delta t /\gamma$$

(se per comodità consideriamo una $V$ tale che $\gamma=2$ allora $\Delta t' = \frac{1}{2}$ secondo).

Quindi chi è in $S'$ vede l'orologio inseguitore ($B$) di $S$ in anticipo di un fattore $\gamma$ rispetto ai propri (legge 1 secondo, nell'esempio, quando i propri orologi segnano $\frac{1}{2}$ secondo). Inoltre sa che gli orologi di $S$ ritardano rispetto ai propri, quindi $S'$ si aspetta di vedere sull'orologio in $B$, in caso fosse sincronizzato con $A$, $\frac{1}{4}$ di secondo.

Calcolo dell'Anticipo Effettivo

Generalizzando per valori qualsiasi di $\gamma$, perché $S'$ possa considerare gli orologi su $S$ come sincronizzati il $\Delta t$ di $B$ dovrebbe essere $= L_0/\gamma^2 V$. Quindi $L_0/\gamma^2 V$ è il $\Delta t$ atteso da $S'$ perché $S'$ possa considerare i due orologi sincronizzati, quindi perché gli orologi appaiano sincronizzati il $\Delta t$ deve essere (con questi dati) di $\frac{1}{4}s$.

Quindi chi è in $S'$ deduce che i due orologi non sono sincronizzati perché il $B$, segnando 1 secondo, anticipa di $\frac{3}{4} s$.

Anticipo $= \Delta t_{\text{effettivo}} (1s) - \Delta t_{\text{atteso}} (\frac{1}{4}s) = \frac{L_0}{V} - \frac{L_0}{\gamma^2 V} = \frac{L_0}{V} \left(1 - \frac{1}{\gamma^2}\right) = \frac{L_0 V}{c^2}$

È l'anticipo dell'orologio inseguitore (cioè indica un tempo posteriore) visti dal sistema che li vede in moto.

Il Paradosso del Treno e della Galleria

Il paradosso consiste nel fatto che commettendo un errore di analisi sembra di poter riconoscere il moto assoluto.

Prendiamo un treno che passa in una galleria. Il sistema che vede la galleria ($L_0$) ferma e il treno passare con una velocità $V$ è il sistema $S$. Il sistema che vede il treno fermo è $S'$.

Lunghezze Relative

• Per $S$ (Galleria ferma): La lunghezza del treno in moto equivale a quella della galleria. Quando tutto il treno è nella galleria, due chiusure vengono abbassate simultaneamente in corrispondenza della testa e della coda del treno senza che il treno venga toccato. Treno e galleria hanno per $S$ la stessa lunghezza. $L_0$ è la lunghezza propria della galleria, ma non del treno.
• Per $S'$ (Treno fermo): $L_{\text{treno}} = \gamma L_0$ (perché $S$ vede il treno contratto di $\gamma$ poiché è in movimento) ed è $L$ propria del treno. $L_{\text{galleria}} = L_0/\gamma$ (perché la vede in movimento e quindi contratta).

Da ciò deriva che per chi è in $S'$ (ponendo $\gamma=2$) il treno è lungo quattro volte la galleria.

Di conseguenza per il macchinista avverrà il disastro, per l'osservatore al di sopra della galleria no. Qui sta il paradosso, nel fatto che un evento oggettivo possa dire chi ha ragione e quindi determinare il moto assoluto. L'errore sta nel fatto che si presuppongono gli orologi sincronizzati. Il disastro non avverrà perché è invariante in quanto dato oggettivo.

Analisi Temporale del Paradosso

Gli orologi di $S$ quando vedono il treno davanti all'imbocco della galleria calcolano che il treno sarà tutto in galleria dopo un $\Delta t_{AB} = L_0/V$ (supponendo che i dati siano $L_0=V$) $= 1s$. Mentre chi è su $S'$ vedrà passato un $\Delta t' = L_0/\gamma V$ (quindi $\frac{1}{2}$ secondo).

Quindi essendo il treno lungo 4 volte la galleria per $S'$ ci vorranno ancora $1,5$ secondi affinché la coda del treno entri. Il tempo necessario in $S'$ perché entri tutto il treno è ancora di $1,5$ secondi. Dopo questo tempo, quando gli orologi di $S'$ segnano $2$ secondi, gli orologi di $S$ (che per $S'$ ritardano di un fattore 2) segnano $1$ secondo ed è proprio il momento nel quale viene fatta cadere la seconda chiusura.

La chiusura di coda della galleria sarà vista da $S'$ in ritardo di $\frac{3}{4}$ secondi rispetto alla chiusura di testa. Questo è proprio il tempo necessario per far passare tutto il treno.

Quindi $S'$ non vedrà le chiusure simultanee, ma vedrà quella a cui va incontro chiudersi e aprirsi un attimo prima che la sua punta esca e quella di coda chiudersi quando l'ultima parte di treno è entrata nella galleria.