Sollecitazioni Meccaniche nel Corpo Rigido: Asse Centrale, Forze Parallele e Baricentro

Sollecitazioni e Riduzione di Sistemi di Forze

Dimostrazione. Dalla formula (4.2) di trasporto dei momenti si ottiene:

M_P(λ) = M_A + (A - P(λ)) ^ R (4.7) = M_A - ((R ^ M_A)/R² + λR) ^ R = M_A - (1/R²) (R ^ M_A) ^ R

Il risultato (4.8) segue allora immediatamente applicando l'identità del doppio prodotto vettore (a ^ b) ^ c = -(b ⋅ c) a + (a ⋅ c) b con a = c = R, b = M_A, e ricordando che M_A ⋅ R = I.

Osservazione. L'asse centrale è univocamente determinato, indipendentemente dalla scelta del punto A. Si veda l'analoga osservazione a proposito dell'univocità dell'asse di Mozzi nella cinematica del corpo rigido.

In base a tale teorema, le sollecitazioni con R ≠ 0 si possono suddividere in due classi.

I. Sollecitazione Equivalente ad una Sola Forza

È un sistema con R ≠ 0 e I = 0. Poiché in tal caso segue dalla (4.8) che il momento rispetto ai punti dell'asse centrale è nullo, la sollecitazione è equivalente ad una sola forza, di vettore F = R, applicata lungo i punti dell'asse centrale (che in questo caso prende il nome di retta di applicazione del risultante).

II. Sollecitazione Non Riducibile ad una Forza

È un sistema con R ≠ 0 e I ≠ 0. In tal caso, la sollecitazione più semplice equivalente a quella data è costituita da una forza, di vettore F = R, applicata lungo i punti dell'asse centrale (che in tal caso prende il nome di asse di minimo momento) e da una coppia di momento diretto come l'asse e di modulo I/R.

Che il momento rispetto ai punti dell'asse sia minimo segue dal fatto che se consideriamo la forza R applicata non lungo l'asse, ma esternamente ad esso a distanza h, ad esempio in un punto B, la coppia che occorre aggiungere per avere una sollecitazione equivalente ha momento di modulo maggiore, dato da M = √((I/R)² + h²R²), come segue dalla formula di trasporto dei momenti M_B = M_P(λ) + (P(λ) - B) ^ R.

In conclusione, la più generale sollecitazione applicata al c.r. è equivalente ad una forza e ad una coppia; in particolare, se I = 0 si ha una sola forza, se R = 0 si ha una sola coppia, se I = 0 e R = 0 si ha il sistema nullo (assenza di forze).

Tre Casi Notevoli di Sollecitazioni Riducibili ad una Forza

Presentiamo tre esempi di sollecitazioni, che supponiamo con R ≠ 0, che hanno I = 0, e che quindi ammettono retta di applicazione del risultante; si tratta rispettivamente delle forze centrali, piane e parallele.

• (i) Siano applicate al c.r. delle forze centrali, le cui rette di applicazione passano tutte per un punto O. Per quanto detto, ciò è equivalente a dire che tutte le forze sono applicate in O; il momento M_O è quindi nullo, per cui I = 0. Il sistema di forze centrali è quindi equivalente al risultante R applicato in O: esempi di tali forze sono le forze gravitazionali e le forze elettrostatiche.
• (ii) Consideriamo una sollecitazione in cui le forze siano piane. Se i vettori F_i appartengono al piano xy di un riferimento assegnato, R appartiene allo stesso piano; rispetto ad un generico punto del piano, i momenti delle singole forze sono ortogonali al piano, e quindi lo è anche il momento complessivo M, per cui è I = 0.
• (iii) Consideriamo infine una sollecitazione S costituita da forze parallele, date cioè da vettori F_i = F_i k, dove k è il versore di una direzione assegnata, uguale per tutte le forze F_i, e F_i sono le componenti delle forze lungo tale direzione (non è detto che le componenti F_i siano tutte dello stesso segno, ma supponiamo che R = ∑_i F_i ≠ 0): pertanto si ha R = Rk. Il momento di ogni forza essendo perpendicolare a k, lo è anche il momento totale, per cui I = 0.

Centro di Forze Parallele e Baricentro

Le forze parallele applicate al c.r. ammettono una ulteriore importante proprietà. Consideriamo invece di una sollecitazione parallela S, con F_i = F_i k, una qualunque altra sollecitazione S', costituita da forze ancora parallele F'_i = F_i k' (che potremmo pensare ottenuta da S ruotando dello stesso angolo la direzione delle forze senza alterarne le componenti F_i) e che quindi ammette una retta di applicazione del risultante diretta come k'.

Si dimostra allora che al variare della direzione delle forze, e mantenendo invariate le loro componenti F_i, le rette di applicazione del risultante ammettono un punto in comune (e costituiscono quindi una stella di rette); esiste cioè un (unico) punto, detto il centro del sistema di forze parallele (indicato nel seguito con G), che appartiene alla retta di applicazione del risultante indipendentemente dalla direzione delle forze. Nel caso particolare in cui la sollecitazione parallela è data dalle forze peso p_i = p_ik, il centro delle forze peso è chiamato il baricentro del c.r.

5.1 Teorema. Sia dato un sistema di forze parallele F_i = F_i k con R = ∑_i F_i ≠ 0. Allora:

• (i) esiste ed è unico un punto G per cui ∑_i F_i ⋅ (P_i - G) = 0 (5.1); rispetto ad un punto arbitrario O, la posizione di G è data da G - O = (∑_i F_i (P_i - O)) / R (5.2);
• (ii) il punto G è il centro delle forze parallele.

Dimostrazione

(i) L'unicità di G segue immediatamente dalla proprietà (5.1); infatti se esistesse un secondo punto G' per cui ∑_i F_i (P_i - G') = 0, sottraendo tale relazione dalla (5.1) si avrebbe ∑_i F_i (G' - G) = R(G' - G) = 0, da cui G' = G essendo R ≠ 0 per ipotesi.

Che il punto G sia dato dalla (5.2) è evidente; infatti, scrivendo (P_i - G) = (P_i - O) - (G - O), abbiamo: ∑_i F_i (P_i - G) = ∑_i F_i (P_i - O) - ∑_i F_i (G - O) = ∑_i F_i (P_i - O) - R(G - O). Dalla (5.2) segue che ∑_i F_i (P_i - O) = R(G - O), quindi ∑_i F_i (P_i - G) = 0.

(ii) Per verificare che G così definito sia il centro della stella di rette, osserviamo dalla definizione (5.2) che G non dipende dalla particolare direzione k delle forze parallele, ma solo dalle loro componenti F_i; pertanto ogni sua proprietà è indipendente dalla direzione. Se dimostriamo allora che il momento M_G del sistema di forze è nullo, G appartiene alla retta di applicazione del risultante qualunque sia la direzione k delle forze parallele, e quindi è il centro; in effetti questo segue immediatamente dalla proprietà (5.1):

M_G = ∑_i (P_i - G) ^ F_i = ∑_i (F_i (P_i - G)) ^ k (5.1) = 0.