Statistica Descrittiva: Formule e Concetti di Tendenza, Dispersione e Forma

Misure di Tendenza Centrale

Media Aritmetica

Casi di Calcolo della Media Aritmetica

• Dati non raggruppati (tabella)
• Dati raggruppati (tabelle), ma senza lacune
• Dati raggruppati in intervalli (xᵢ = valore centrale della classe)

Mediana (Me)

Le osservazioni devono essere ordinate in modo crescente.

• Se n è pari:
• Se n è dispari:

La Mediana è il valore che occupa la posizione centrale nella serie ordinata.

Moda (Mo)

Il valore Mo è quello che si ripete il maggior numero di volte.

Mid-Range (Range Medio)

RM

Media Geometrica (G)

Media Armonica (H)

Media Quadratica (Q)

Percentili

Percentile K-esimo

Misure di Dispersione

Range (Campo di Variazione)

Re

Varianza (S²)

S² (Formula teorica)

(Formula per i calcoli)

• V(x) ≥ 0
• Trasformazione di origine: la varianza non cambia.
• Trasformazione di scala: V(kX) = k² V(X)
• Varianza di una costante: V(k) = 0

Deviazione Standard (Scarto Quadratico Medio)

È la radice quadrata positiva della varianza.

Range Interquartile (IQR)

IQR (Differenza tra il terzo quartile e il quartile inferiore).

Tasso di Apertura

Coefficiente di Variazione (CV)

CV (%) (Deviazione standard / Media aritmetica)

Se il CV è alto, i dati sono più dispersi.

Nota: Il CV non è sempre positivo, poiché la media può essere negativa.

Momenti

Momenti Rispetto all'Origine

μ'r

Momenti Centrali (Rispetto alla Media)

μr

Momento Centrale del Secondo Ordine

Il momento centrale del secondo ordine è la Varianza.

Misure di Forma: Asimmetria e Curtosi

Misure di Asimmetria

Indice di Asimmetria di Pearson

Ap (Un valore più alto indica maggiore asimmetria).

• Ap > 0: Distribuzione inclinata a destra (Asimmetria Positiva).
• Ap < 0: Distribuzione inclinata a sinistra (Asimmetria Negativa).
• Ap = 0: Distribuzione Simmetrica (Media = Mediana = Moda).

Nota: Se |Ap| > 1, l'asimmetria è considerata significativa.

Momento Centrale del Terzo Ordine (m₃)

m₃ Mantiene il segno e il tipo di asimmetria.

• m₃ > 0: Distribuzione Asimmetrica a destra (+).
• m₃ < 0: Distribuzione Asimmetrica a sinistra (-).
• m₃ = 0: Distribuzione Simmetrica.

Indice di Asimmetria di Fisher (g₁)

g₁ È un indice adimensionale basato sul momento centrale del terzo ordine.

Misure di Curtosi

Coefficiente di Curtosi (g₂)

g₂

• g₂ > 0: Distribuzione Leptocurtica (Curtosi alta, code pesanti).
• g₂ < 0: Distribuzione Platicurtica (Curtosi bassa, code leggere).
• g₂ = 0: Distribuzione Mesocurtica (Curtosi standard, come la Normale).

Misure di Concentrazione

• Concentrazione Massima: Distribuzione iniqua (X₁ = X₂ = ... = Xn-₁ = 0 e Xn > 0).
• Concentrazione Minima (Equidistribuzione): X₁ = X₂ = X₃ = ... = Xn.

Principali Misure di Concentrazione

Le principali misure sono l'Indice di Gini e la Curva di Lorenz.

Curva di Lorenz

Utilizzata per rappresentare la distribuzione del reddito (o di altre variabili) in una popolazione.

Dati Necessari

• Xᵢ: Valori osservati (es. redditi)
• nᵢ: Frequenze assolute
• Nᵢ: Frequenze assolute cumulative
• Uᵢ = Rᵢ: Totali parziali (es. reddito cumulato)
• A: Reddito complessivo totale.
• qᵢ (Quota cumulativa relativa):
• pᵢ (Frequenza cumulativa relativa):

Se pᵢ - qᵢ = 0 per ogni i, si ha la concentrazione più bassa (equidistribuzione).

Rappresentazione Grafica

Più la Curva di Lorenz si avvicina alla diagonale di equidistribuzione, maggiore è l'omogeneità nella distribuzione. La linea diagonale rappresenta l'equità assoluta.

Indice di Gini (G)

Misura la concentrazione della ricchezza ed è pari a due volte l'area di concentrazione.

L'indice varia tra 0 e 1. G = 0 indica equidistribuzione (concentrazione minima). G = 1 indica concentrazione massima.