Teorema di Bayes, Giochi Equi, Monopolio vs Concorrenza, Mutui vs Leasing e Minimi Quadrati: Approfondimenti

Teorema di Bayes e Probabilità Condizionata

Il teorema di Bayes, formulato da Thomas Bayes nel 1763, è una formula matematica molto utilizzata, soprattutto in genetica o per il controllo della qualità. Per spiegare il teorema di Bayes in modo semplice, possiamo usare un esempio pratico relativo agli effetti collaterali dei vaccini.

Immagina che stiamo parlando di un vaccino che è stato somministrato a una grande popolazione. Alcune persone riportano effetti collaterali dopo aver ricevuto il vaccino. Vogliamo capire qual è la probabilità che una persona che ha avuto effetti collaterali li abbia avuti a causa del vaccino e non per altri motivi.

In questo modo, il teorema di Bayes ci aiuta a capire la probabilità condizionata, ovvero come cambiano le probabilità di un evento in base alle informazioni aggiuntive che abbiamo.

Giochi Equi: Un'Analisi Matematica

Un gioco equo può essere vantaggioso, svantaggioso o equo.

Immagina che tu e un amico stiate giocando a un gioco molto semplice con una moneta.

Gioco equo tra due giocatori:

Tu e il tuo amico decidete di lanciare una moneta.

Se esce testa, tu vinci 1 euro dal tuo amico.

Se esce croce, il tuo amico vince 1 euro da te.

Un gioco è considerato "equo" se entrambi i giocatori hanno le stesse possibilità di vincere e perdere, e non ci sono vantaggi per nessuno. Nel nostro esempio:

La probabilità di ottenere testa è 50% (1/2).

La probabilità di ottenere croce è 50% (1/2).

Quindi, nel lungo periodo, né tu né il tuo amico avete un vantaggio o svantaggio, perché avete le stesse probabilità di vincere o perdere. Questo rende il gioco equo.

In matematica si dice che il gioco tra 2 giocatori è equo quando hanno la stessa speranza matematica di vincere e quando le poste dei 2 giocatori sono direttamente proporzionali alla rispettiva speranza di vincere.

Usiamo la proporzione Sb (somma costituente la vincita) x p (prob di a) (speranza matematica di A) = Sa x q (prob contraria di p)

Il giocatore A punta 350€ se pescando da un mazzo di carte esce una figura: A=350 B= cosa dovrebbe puntare B perché il gioco sia equo? p= 12/40 q= 28/40 -> 50: x = 12/40 : 28/40 -> x= 50x 28/50 / 12/40 = 350/3 x= 116,67. perché il gioco sia equo B dovrebbe puntare 116,67.

Vogliamo dimostrare che ogni gioco tra un giocatore e il banco istituzionale è sempre svantaggioso perché essendo i soldi tassati dal banco, statisticamente il giocatore perde -> P(prezzo di adesione) = s (forma la somma costituente la vincita) x p (probabilità di vittoria) L’esempio più lampante per dimostrare questa cosa è quando al casinò punto ad esempio 500 € e so che se vinco, il casinò mi da 36 volte la puntata. Punto 500€ sul numero 24 su una ruota formata da 37 numeri. Per cui possiamo dire che ho 500€ (p) è il prezzo di adesione= 36x 500 (somma costituente la vincita) x 1/37 (prob che esca un numero su 37 totali) -> 500= 486,48 il gioco non è equo. affinché il gioco sia equo il banco dovrebbe darmi 37 volte la puntata e allora così la speranza matematica di vittoria del banco sarebbe stata uguale alla mia. Affinché il gioco sia equo il prezzo di adesione alla somma costituente x la probabilità di vincere

Monopolio vs Concorrenza Perfetta: Un Confronto

La differenza matematica tra un monopolio e la concorrenza perfetta riguarda principalmente il modo in cui i prezzi e le quantità di equilibrio vengono determinati.

In un mercato di concorrenza perfetta, ci sono molti venditori e molti acquirenti, e nessun singolo venditore o acquirente può influenzare il prezzo del bene. Le caratteristiche principali sono:

• Prezzo Determinato dal Mercato: I singoli venditori accettano il prezzo di mercato.
• Prodotti Omogenei: I beni offerti sono identici.
• Libero Accesso al Mercato: Non ci sono barriere all'entrata o all'uscita.

Matematicamente:

• Domanda e Offerta: Il prezzo di equilibrio P e la quantità di equilibrio Q sono determinati dall'intersezione della curva di domanda e offerta del mercato.
• Ricavo Marginale RM: Il ricavo marginale è uguale al prezzo di mercato, RM=P
• Condizione di Massimizzazione del Profitto: Un'impresa massimizza il profitto producendo dove il costo marginale (CM) è uguale al prezzo di mercato, CM=P

In un mercato monopolistico, c'è un unico venditore che controlla l'intera offerta del bene o del servizio. Le caratteristiche principali sono:

• Prezzo Deciso dal Monopolista: Il monopolista decide il prezzo.
• Prodotto Unico: Non ci sono sostituti perfetti.
• Barriere all'Entrata: Ci sono forti barriere che impediscono l'ingresso di nuovi concorrenti.

Matematicamente:

• Ricavo Marginale RM: Il ricavo marginale non è uguale al prezzo. Poiché il monopolista deve abbassare il prezzo per vendere quantità aggiuntive, il ricavo marginale è inferiore al prezzo RM
• Condizione di Massimizzazione del Profitto: Il monopolista massimizza il profitto producendo dove il ricavo marginale (RM) è uguale al costo marginale (CM), RM=CM

Differenze Chiave

Determinazione del Prezzo:

• Concorrenza Perfetta: Il prezzo è determinato dal mercato; P=RM=CM
• Monopolio: Il prezzo è determinato dal monopolista; P>RM=CM

Quantità Prodotte:

• Concorrenza Perfetta: Le imprese producono alla quantità dove il prezzo è uguale al costo marginale.
• Monopolio: Il monopolista produce una quantità inferiore a quella che sarebbe prodotta in concorrenza perfetta, dove il ricavo marginale è uguale al costo marginale.

domanda: 100-x offerta 20+ 2x prezzo di equilibrio 100-x=20+2x -> 80= 3x x= 80/3 26,66 sostituti per trovare y (x prezzo:y quantità )

yr = 26,66x pxq retta dall’origine

nel monopolio il prezzo nasce dalla funzione inversa della domanda p= 100 - d -> d= 100-p yr moltiplico per x 100- p2

Mutuo vs Leasing: Quale Scegliere?

La differenza tra mutuo e leasing riguarda principalmente il modo in cui viene finanziato l'acquisto di un bene e la proprietà del bene stesso.

Un mutuo è un prestito a lungo termine, solitamente erogato da una banca o un'istituzione finanziaria, che viene utilizzato per acquistare un bene, tipicamente un immobile. Con un mutuo, diventi immediatamente il proprietario del bene (ad esempio, la casa), anche se hai un debito verso la banca. La proprietà è tua, ma la banca ha un'ipoteca sull'immobile come garanzia fino a quando il mutuo non è completamente rimborsato. Rimborsi il prestito attraverso rate mensili che includono una parte del capitale e una parte di interessi. La durata del mutuo può variare, ma solitamente va dai 15 ai 30 anni.

Vantaggi: Proprio proprietà del bene, potenziale apprezzamento del valore dell'immobile, benefici fiscali.

Svantaggi: Obbligo a lungo termine, rischio di deprezzamento del bene, necessità di un acconto iniziale.

Il leasing è un contratto di locazione a lungo termine in cui una parte (il locatario) paga per utilizzare un bene di proprietà di un'altra parte (il locatore). Può essere utilizzato per beni mobili (come veicoli) o immobili (come edifici). Nel leasing, il locatore mantiene la proprietà del bene durante il periodo del leasing. Alla fine del contratto, il locatario può avere l'opzione di acquistare il bene a un prezzo prestabilito, restituirlo o rinnovare il leasing. Nel leasing ci sono principalmente tre soggetti coinvolti:

• Il locatore: è il proprietario del bene che viene dato in leasing. Questo può essere una banca, una società di leasing o un'azienda specializzata. Il locatore acquista il bene e lo affitta al locatario per un periodo di tempo concordato. Durante questo periodo, il locatore mantiene la proprietà legale del bene.
• Il locatario: è la persona fisica o giuridica che utilizza il bene in leasing. Il locatario paga un canone periodico per l'uso del bene per la durata del contratto di leasing. Alla fine del periodo di leasing, il locatario può avere l'opzione di acquistare il bene, rinnovare il contratto di leasing o restituire il bene al locatore.
• Fornitore (o venditore del bene): Il fornitore è l'azienda o il venditore da cui il locatore acquista il bene da dare in leasing. Anche se il fornitore non è direttamente coinvolto nel contratto di leasing tra il locatore e il locatario, il fornitore ha un ruolo importante nell'acquisizione del bene.

Nel leasing, il locatore mantiene la proprietà del bene durante il periodo del leasing. Alla fine del contratto, il locatario può avere l'opzione di acquistare il bene a un prezzo prestabilito, restituirlo o rinnovare il leasing. Il locatario paga una rata mensile per l'uso del bene. Questi pagamenti possono includere sia una parte per l'utilizzo del bene sia eventuali costi aggiuntivi come manutenzione o assicurazione.

Metodo dei Minimi Quadrati e Modelli Parabolici

Il metodo dei minimi quadrati è una tecnica statistica utilizzata per trovare la migliore approssimazione di una curva ai dati osservati minimizzando la somma dei quadrati delle differenze tra i valori osservati e quelli previsti dal modello. Quando si usa un modello parabolico per prevedere il picco di un fenomeno come i casi di COVID-19, si adatta una parabola ai dati disponibili.

Da un insieme di punti come ricavo una funzione? Ho una nuvola di dati e devo decidere che andamento dare a questa funzione (retta, parabola) tenendo conto che tra il punto osservato e il punto della funzione deve esserci la minor distanza possibile.

Raccolta dei Dati: Raccogli i dati giornalieri o settimanali sui nuovi casi di COVID-19. I dati devono includere il tempo t (in giorni, settimane, ecc.) e il numero di nuovi casi y

se ho interpretato il modello in modo corretto c dovrebbe essere negativo con la concavità verso il basso e con b positivo e segni discordi l’asse di simmetria é a destra. il picco é il vertice della parabola (14 giorni ,8767contagi )