Calcolo della Matrice Inversa con il Metodo di Gauss e Proprietà delle Matrici

Metodo di Gauss per il calcolo della matrice inversa

Sia A = (a_ij) una matrice quadrata di ordine n. Per calcolare la matrice inversa di A, indicata come A^-1, attenersi alla seguente procedura:

Fase 1

Costruire la matrice M di ordine n x 2n, definita come M = (A | I), dove A occupa la metà sinistra e la matrice identità I la metà destra.

Fase 2

Mantenere la prima riga di M e annullare gli elementi sotto il primo elemento della diagonale principale (a₁₁), chiamato pivot. Procedere analogamente per gli altri elementi della diagonale.

Una volta completati i passaggi, la metà sinistra di M diventerà una matrice triangolare. Se la matrice è invertibile, si prosegue trasformando la metà sinistra in una matrice diagonale e infine in una matrice identità, dividendo le righe per gli scalari necessari. La matrice risultante nella metà destra di M sarà A^-1.

Verifica: Per controllare il risultato, moltiplicare A · A^-1; il risultato deve essere la matrice identità I.

Classificazione delle Matrici

• Matrice riga: Composta da una singola riga.
• Matrice colonna: Composta da una singola colonna.
• Matrice rettangolare: Ha un numero diverso di righe e colonne (dimensione m x n).
• Matrice quadrata: Ha lo stesso numero di righe e colonne.
• Matrice nulla: Tutti gli elementi sono uguali a zero.
• Matrice triangolare superiore: Gli elementi al di sotto della diagonale principale sono zero.
• Matrice triangolare inferiore: Gli elementi al di sopra della diagonale principale sono zero.
• Matrice diagonale: Tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale sono zero.
• Matrice scalare: Matrice diagonale con elementi uguali sulla diagonale principale.
• Matrice identità (o unità): Matrice diagonale con 1 sulla diagonale principale.
• Matrice trasposta (A^t): Si ottiene scambiando le righe con le colonne.
• Matrice regolare: Matrice quadrata dotata di inversa.
• Matrice singolare: Matrice quadrata priva di inversa.
• Matrice idempotente: Verifica A² = A.
• Matrice involutiva: Verifica A² = I.
• Matrice simmetrica: Verifica A = A^t.
• Matrice antisimmetrica (o emisimmetrica): Verifica A = -A^t.
• Matrice ortogonale: Verifica A · A^t = I.

Operazioni tra Matrici

Somma di matrici

Date due matrici A e B della stessa dimensione, la somma A + B si ottiene sommando gli elementi che occupano la stessa posizione.

Proprietà:

• Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Commutativa: A + B = B + A
• Elemento neutro: 0 + A = A = A + 0
• Elemento simmetrico: A + (-A) = 0

Prodotto di matrici

Due matrici A e B sono moltiplicabili se il numero di colonne di A corrisponde al numero di righe di B. L'elemento c_ij del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi della riga i di A per quelli della colonna j di B e sommandoli.

Proprietà del prodotto

• Associativa: A · (B · C) = (A · B) · C
• Elemento neutro: A · I = A
• Non commutativa: A · B ≠ B · A
• Distributiva: A · (B + C) = A · B + A · C