Calcolo del Rapporto Segnale-Rumore nei Collegamenti FDM-FM

Calcolo del rapporto segnale/rumore all'uscita di un collegamento FDM-FM

Il segnale ricevuto è definito dalla formula: v(t) = s(t) + n(t) = V₀ cos(ω₀t + α(t)) + n(t), dove α̇(t) = kx(t) e x(t) rappresenta il segnale FDM telefonico.

Si assume che x(t) appartenga ad un processo ergodico gaussiano a valore medio nullo, con densità spettrale di potenza costante nella banda (ω₁, ω₂) e nulla al di fuori di essa.

Parametri di Modulazione e Formula di Carson

Di solito è fissato il valore Δω_eff = α̇_eff della deviazione di pulsazione. Di conseguenza, il valore di picco Δω_max si ottiene dalla relazione: Δω_max = √20 · Δω_eff.

La larghezza di banda di S(t) è quindi espressa dalla formula di Carson:

• B_w = 2(Δω_max + ω₂) = 2(√20 · Δω_eff + ω₂)

Rapporto Segnale/Rumore (Sᵤ/Nᵤ)

In precedenza abbiamo visto che il rapporto (Sᵤ/Nᵤ)_w all'uscita del demodulatore di frequenza è dato, per ρ >> 1, da:

• (Sᵤ/Nᵤ)_w = P₀ · G_α̇(ω) / G₀ω²

Ove G₀ è la densità spettrale di potenza di n(t) nella banda B_w centrata su ω₀. Si ricorda inoltre che la deviazione di pulsazione δφ̇(t) della somma V₀ cos(ω₀t) + n(t) ha densità di potenza D_δφ̇(ω) espressa per ρ >> 1 da: D_δφ̇(ω) = 2G₀ω² / V₀², per 0 < ω < B_w/2.

Per ω₂ >> ω₁, si ha:

• G_α̇ = Δω_eff² / ω₂

Effetto della Deenfasi e Preenfasi

Come è evidente dalla formula che esprime (Sᵤ/Nᵤ)_w e dalla figura, il rapporto (Sᵤ/Nᵤ)_w diminuisce all'aumentare di ω. Il suo valore minimo si ha nella trasformazione inversa dalla rete di preenfasi.

[Schema: v(t) → FD → rete di deenfasi → Kx(t) + nᵤ(t)]

Poiché nel caso in esame la rete di preenfasi deve trasformare uno spettro di potenza costante nella banda (ω₁, ω₂), la rete di deenfasi è un integratore. Con tali reti di preenfasi e di deenfasi, il collegamento diviene a modulazione di fase (PM).

Il rapporto (Sᵤ/Nᵤ)_w all'uscita della rete di deenfasi è pertanto espresso da: (Sᵤ/Nᵤ)_w = P₀ · G_α(ω) / G₀, essendo G_α(ω) (densità spettrale di potenza della deviazione di fase dovuta alla modulazione) costante nella banda (ω₁, ω₂) e nulla al di fuori. Per ω = ω₂, si ha:

• (Sᵤ/Nᵤ)_fm = 2(Δω_eff / ω₂)² · P₀ / 2G₀ω₂

Ove P₀ / 2G₀ω₂ = ρᵢ rappresenta il rapporto segnale/rumore intrinseco di ingresso al demodulatore.

Ottimizzazione del Sistema di Trasmissione

Gli altri canali telefonici presentano una qualità migliore di quella richiesta e ciò deve far sospettare che il sistema di trasmissione non sia ottimizzato. L'ottimizzazione può essere ottenuta con l'impiego di una rete di preenfasi che modifichi lo spettro del segnale modulante all'ingresso del modulatore.

[Schema: x(t) → Rete di preenfasi → FM → s(t)]

Il rapporto (Sᵤ/Nᵤ)_w risulta pertanto costante su tutti i canali telefonici. Indicheremo tale valore con (Sᵤ/Nᵤ)_pm. Il valore costante G_α si ricava da: Δω_eff² = G_α · (ω₂³ - ω₁³) / 3, se ω₁ << ω₂.

Considerazioni Finali

In questa sezione sono riportati per comodità gli spettri di potenza dei segnali e dei rumori in gioco (Grafiche). È opportuno sottolineare che quanto esposto finora considera soltanto gli effetti del rumore termico.