Centro Istantaneo di Rotazione e Distribuzione delle Accelerazioni nei Corpi Rigidi

Centro Istantaneo di Rotazione (C.I.R.)

Segue allora che la (1.7) ha una e una sola soluzione C, di coordinate:

• x_C = x_A - v_Ay/ω
• y_C = y_A + v_Ax/ω (1.8)

Il punto con velocità nulla, la cui esistenza è garantita dal teorema di Eulero, è detto centro di istantanea rotazione (lo indicheremo spesso nel seguito con C.I.R.).

Se è noto il C.I.R., la velocità di ogni altro punto del corpo rigido (c.r.) può quindi calcolarsi con la formula:

v_P = ω × (P - C)

Da tale formula segue ovviamente che v_P è nel piano del moto e, più in particolare, che:

• (a) v_P è perpendicolare al vettore (P - C).
• (b) La retta per P e il C.I.R. è perpendicolare a v_P.
• (c) v_P = ωr, dove r = |PC|.

Si ha quindi che il modulo della velocità di ogni punto P cresce linearmente con la distanza r di P dal C.I.R. (diagramma triangolare delle velocità).

Determinazione del C.I.R.

Nelle applicazioni, può essere utile determinare il C.I.R. senza dover prima calcolare il moto; ciò si può fare in tre casi:

1. Se esiste un punto fisso O, esso è evidentemente il C.I.R.
2. Se sono note le direzioni, non parallele, delle velocità v_A e v_B di due punti A e B, segue dalla proprietà (b) prima enunciata che il C.I.R. è il punto di intersezione tra le perpendicolari a v_A e v_B condotte per A e B (teorema di Chasles).
3. Se il c.r. rotola senza strisciare su una guida fissa, il punto di contatto del c.r. con la guida è il C.I.R.

Base e Rulletta

In generale, la posizione del C.I.R. varia nel tempo; rispetto all'osservatore fisso, il luogo descritto dal C.I.R. è detto la base del moto; lo stesso luogo, scritto in una terna solidale al c.r., è detto la rulletta. Si dimostra che base e rulletta hanno in comune un punto e la tangente (contatto del secondo ordine), per cui il moto della rulletta è un moto di puro rotolamento sulla base.

Distribuzione delle Accelerazioni

Dalla formula fondamentale dell'atto di moto rigido v_B - v_A = ω × (B - A), derivata rispetto al tempo, segue che le accelerazioni di due punti A e B del c.r. sono legate dalla relazione:

a_B = a_A + ω̇ × (B - A) + ω × (ω × (B - A)) (2.1)

Utilizzando l'identità del doppio prodotto vettore, la (2.1) può allora scriversi nella forma equivalente:

a_B = a_A + ω̇ × (B - A) - ω²(B - A) + ((B - A) · ω) · ω (2.2)

Accelerazioni nel moto rigido piano

Nel caso di una lamina piana in moto nel proprio piano, l'ultimo termine della (2.2) è identicamente nullo, per cui, ponendo ω = ωk e ω̇ = ω̇k, segue che:

a_B = a_A + ω̇k × (B - A) - ω²(B - A) (2.3)

In stretta analogia con l'interpretazione dell'atto di moto rigido, possiamo dire che nel caso piano l'accelerazione di un generico punto B è ottenibile componendo l'accelerazione di un punto A con l'accelerazione che B avrebbe nell'atto di moto rotatorio attorno ad A (rispettivamente, l'accelerazione tangenziale e l'accelerazione centripeta).

Sempre nel caso piano, si dimostra infine che esiste (ed è unico) un punto C_a (centro delle accelerazioni), che ha accelerazione nulla. In generale, il centro delle accelerazioni C_a non coincide con il C.I.R.