Comportamento di resistori, condensatori e induttori in DC e AC, con teoremi di Boucherot, Thévenin e Norton

1. Relazione di definizione di Resistore, Condensatore e Induttore

Studio del comportamento dei tre componenti passivi fondamentali sia in regime di corrente continua (DC) che in corrente alternata sinusoidale (AC).

Il Resistore

In corrente continua (DC)

Un resistore segue la legge di Ohm. La relazione tra la tensione V e la corrente I nel resistore è:

V = I · R

Dove:

• V è la tensione ai capi del resistore;
• I è la corrente che scorre nel resistore;
• R è la resistenza (costante in DC).

In corrente continua, la resistenza è costante e non dipende dalla frequenza, poiché il resistore non presenta elementi reattivi.

In corrente alternata sinusoidale (AC)

La relazione è analoga, poiché la resistenza non dipende dalla frequenza. La tensione e la corrente sono ancora legate dalla legge di Ohm, ma variano sinusoidalmente nel tempo:

V(t) = I(t) · R

Dove:

• V(t) è la tensione sinusoidale ai capi del resistore;
• I(t) è la corrente sinusoidale nel resistore;
• R è la resistenza.

In AC, non c'è sfasamento tra tensione e corrente in un resistore: i due segnali sono perfettamente in fase.

Seconda legge di Ohm

R = ρ · L / A

Dove:

• ρ (rho) rappresenta la resistività del materiale;
• L è la lunghezza del conduttore;
• A è la sezione trasversale del conduttore.

Il Condensatore

In corrente continua (DC)

Un condensatore si comporta come un interruttore aperto una volta raggiunto il regime stazionario (carica completa), poiché la corrente non può più fluire attraverso di esso. La relazione tra la tensione ai capi del condensatore V e la carica accumulata Q è:

Q = C · V

Dove:

• Q è la carica immagazzinata nel condensatore;
• C è la capacità del condensatore;
• V è la tensione ai capi del condensatore.

La corrente I(t) che scorre nel condensatore è data dalla derivata della carica rispetto al tempo:

I(t) = C · dV(t)/dt

In corrente continua, la corrente fluisce inizialmente per caricare il condensatore, ma una volta che questo è completamente carico, la corrente si annulla.

In corrente alternata sinusoidale (AC)

In AC, il condensatore presenta una reattanza capacitiva che dipende dalla frequenza del segnale. La relazione tra la tensione V(t) e la corrente I(t) rimane legata alla legge differenziale:

I(t) = C · dV(t)/dt

In regime sinusoidale, la corrente è sfasata di 90 gradi in anticipo rispetto alla tensione (la corrente raggiunge il suo valore massimo quando la tensione è zero).

La reattanza capacitiva (X_c) in AC è definita come:

X_c = 1 / (ω · C)

Dove:

• ω = 2πf è la pulsazione angolare;
• f è la frequenza del segnale AC.

L'Induttore

In corrente continua (DC)

Un induttore si comporta come un corto circuito (resistenza nulla) una volta che la corrente ha raggiunto il regime stabile. La relazione tra la tensione ai capi dell'induttore e la corrente è:

V(t) = L · dI(t)/dt

Dove:

• V è la tensione ai capi dell'induttore;
• L è l'induttanza dell'induttore;
• I(t) è la corrente che scorre nell'induttore.

In regime di corrente continua, l'induttore inizialmente si oppone alla variazione di corrente (a causa della forza controelettromotrice indotta), ma una volta che la corrente raggiunge il suo valore stabile, l'induttore si comporta come un corto circuito (la tensione ai suoi capi si annulla).

In corrente alternata sinusoidale (AC)

In AC, l'induttore presenta una reattanza induttiva che dipende dalla frequenza del segnale. La relazione tra la tensione V(t) e la corrente I(t) è:

V(t) = L · dI(t)/dt

In regime sinusoidale, la corrente è sfasata di 90 gradi in ritardo rispetto alla tensione.

La reattanza induttiva (X_l) in AC è definita come:

X_l = ω · L = 2πfL

Dove:

• ω = 2πf è la pulsazione angolare;
• f è la frequenza del segnale AC.

2. Teoremi di Boucherot, Thévenin e Norton

Teorema di Boucherot

Il teorema di Boucherot (o principio di conservazione della potenza virtuale) stabilisce che, in un circuito elettrico, la somma algebrica di tutte le potenze complesse di tutti i bipoli (descritti secondo la convenzione degli utilizzatori) è nulla.

Per un circuito con l rami (e quindi l componenti):

∑_k=1^l S̄_k = 0

Osservazioni importanti:

• Le potenze complesse godono della proprietà di additività (la potenza attiva totale è la somma delle potenze attive, e la potenza reattiva totale è la somma delle potenze reattive).
• In un circuito isolato l'energia si conserva: ∑ S̄ = 0.

Teorema di Thévenin

Una rete lineare tempo-invariante (LTI) può essere rappresentata, rispetto a due nodi generici, come un bipolo equivalente costituito da un generatore di tensione in serie a un resistore (o impedenza equivalente). Questo modello prende il nome di bipolo equivalente di Thévenin.

Questo teorema è valido a condizione che il circuito non contenga generatori dipendenti accoppiati a elementi esterni alla rete da semplificare.

• Il valore della tensione equivalente di Thévenin (V_th) corrisponde alla tensione a vuoto tra i due nodi (quando non vi è collegato alcun carico).
• La resistenza equivalente (R_th) corrisponde alla resistenza vista ai capi dei due nodi quando tutti i generatori indipendenti all'interno della rete sono passivati (generatori di tensione sostituiti da cortocircuiti e generatori di corrente da circuiti aperti).

Dimostrazione:

Teorema di Norton

Una rete lineare tempo-invariante (LTI) può essere rappresentata, rispetto a due nodi generici, come un bipolo equivalente costituito da un generatore di corrente in parallelo a un resistore (o impedenza equivalente). Questo modello prende il nome di bipolo equivalente di Norton.

Come per il teorema di Thévenin, questo teorema è valido se il circuito non contiene generatori dipendenti accoppiati a elementi esterni alla rete da semplificare.

• Il valore della corrente del generatore di Norton (I_no) è pari alla corrente che scorre tra i due nodi quando questi vengono messi in corto circuito.
• La resistenza equivalente di Norton (R_no) è identica alla resistenza equivalente di Thévenin (R_th), calcolata passivando tutti i generatori indipendenti della rete.