Concetti Fondamentali di Analisi Matematica: Funzioni, Limiti e Derivate

Funzioni: Definizione e Classificazione

Una funzione è, secondo la definizione di Laplace, una legge che associa ad ogni valore delle variabili indipendenti x uno ed un solo valore della variabile dipendente y. Tale corrispondenza si può scrivere: %IMAGE_1%

Classificazione delle Funzioni

• Iniettiva: Una funzione si dice iniettiva se ad elementi distinti dell'insieme A (cioè x) corrispondono elementi distinti di B (rapporto 1:1).
• Suriettiva: Se tutti gli elementi di B sono immagini di elementi di A, la funzione risulta essere suriettiva. Nel caso contrario, la funzione si dice non suriettiva.
• Biettiva: Una funzione che risulta contemporaneamente iniettiva e suriettiva si dice biettiva.

Dominio e Codominio

• Dominio (Campo di esistenza): È l'insieme A dei valori reali (che vanno da -∞ a +∞) assunti dalla funzione i cui elementi hanno immagine in B.
• Codominio: È l'insieme B dei valori reali assunti dalla funzione i cui elementi sono immagini.

Le funzioni algebriche sono quelle che si ottengono dall'applicazione ripetuta delle quattro operazioni, compreso l'elevamento a potenza. Le funzioni trascendenti sono quelle che non si svolgono solamente con l'applicazione delle quattro operazioni (es. %IMAGE_3%).

Intervalli e Intorni

L'intervallo degli estremi a e b è l'insieme di tutti i numeri compresi tra a e b.

• Se l'intervallo è chiuso, gli estremi a e b prendono il nome di minimo e massimo.
• Se l'intervallo è aperto, prendono il nome di estremo inferiore e estremo superiore.

Tipologie di Intorni

• Intorno limitato: Si definisce intorno di x₀ (Ix₀) un qualunque intervallo che al suo interno ha x₀. Se x₀ è il punto medio, l'intorno prende il nome di intorno circolare di raggio %IMAGE_7%.
• Intorno illimitato: %IMAGE_9% (tutti i numeri che vanno da un punto a a +∞ o -∞).

Calcolo del Dominio

Il dominio di una funzione è rappresentato dall'insieme di numeri reali:

• Funzione razionale intera: Dom %IMAGE_10% / %IMAGE_11% / %IMAGE_12%
• Funzione razionale fratta: La presenza del denominatore restringe il dominio. Si annulla il denominatore ponendolo = 0.
• Funzione irrazionale: Le limitazioni dipendono dall'indice della radice (pari o dispari).

Teoremi Fondamentali

• Teorema dell'unicità del limite: Se una funzione ammette limite, allora questo è unico.
• Teorema della permanenza del segno: Se una funzione ammette un limite l ≠ 0, allora esiste un intorno di x₀ in cui la funzione ha lo stesso segno del limite.
• Teorema del confronto (dei carabinieri): Permette di calcolare il limite di una funzione confrontandola con altre due funzioni che convergono allo stesso valore.
• Teorema di Weierstrass: Ogni funzione reale e continua in un intervallo chiuso e limitato ha massimo e minimo assoluto.
• Teorema di esistenza degli zeri: Se una funzione è continua in un intervallo chiuso e assume valori di segno opposto agli estremi, allora esiste almeno un punto c in cui la funzione si annulla.

Derivate e Studio di Funzione

La derivata seconda permette di ricavare i punti di flesso, la concavità e la convessità:

• Positiva: La curva volge la concavità verso l'alto.
• Negativa: La concavità volge verso il basso.

Teoremi sulle Derivate

• Teorema di Rolle: In un intervallo chiuso [a,b], se la funzione è derivabile e f(a) = f(b), esiste almeno un punto c interno in cui la derivata si annulla (f'(c) = 0).
• Teorema di Lagrange: Data una funzione continua in [a,b] e derivabile all'interno, esiste un punto c tale che la tangente sia parallela alla corda passante per gli estremi.

I Flessi

Il punto di flesso è un punto in cui cambia la concavità della curva. Si distinguono in:

• Flesso orizzontale: Se la tangente è orizzontale (f'(x₀) = 0).
• Flesso a tangente obliqua: Se la derivata seconda cambia segno.
• Flesso verticale: Se la derivata prima tende a infinito e la derivata seconda cambia segno.