Concetti Fondamentali di Intervalli, Intorni e Limiti di Funzioni

Intervalli e Intorni nella Retta Reale

Intervalli: sono un insieme di numeri compresi tra due valori estremi (se l’intervallo è limitato) oppure tra un valore iniziale e l’infinito (se l’intervallo è illimitato). Solitamente si intendono sull’asse x.

• Intervallo chiuso: gli estremi sono compresi (chiusi superiormente o inferiormente).
• Intervallo aperto: gli estremi hanno limiti, ovvero non sono compresi.

Tipologie di Intervalli

Un intervallo limitato può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all’intervallo, e può essere rappresentato in tre modi diversi. Gli intervalli limitati corrispondono a segmenti della retta reale con estremi a e b (con a < b) e lunghezza b - a, che viene detta ampiezza dell’intervallo.

Un intervallo illimitato corrisponde a una semiretta di origine a; pertanto, uno degli estremi dell’intervallo è il numero reale a, mentre l’altro estremo è +∞ (più infinito) o -∞ (meno infinito). Poiché l'infinito non è un numero reale, tali estremi sono sempre esclusi dall’intervallo.

Concetto di Intorno

Gli intorni sono intervalli in cui è stato fissato un valore particolare, situato all’interno dell’intervallo, mentre tutti gli altri valori gli stanno intorno.

• Intorno circolare: è anche detto intorno completo perché consideriamo numeri vicini a x₀, sia per difetto sia per eccesso. L’intersezione o l’unione di due o più intorni circolari di x₀ sono ancora degli intorni circolari di x₀.
• Intorno di meno infinito: un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente.
• Intorno di più infinito: un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente.

Punti di Accumulazione e Funzioni Continue

Punto di Accumulazione

Il numero reale x₀ è un punto di accumulazione di A (sottoinsieme di R) se ogni intorno completo di x₀ contiene infiniti punti di A. Un insieme può non avere punti di accumulazione o averne un numero finito o infinito.

Definizione di Funzioni Continue

Quando in una funzione x₀ appartiene al dominio di f, possiamo considerare la sua immagine f(x₀). Se essa coincide con il limite di f(x) per x che tende a x₀, allora si dice che f è continua in x₀. Ciò significa che il suo grafico non ha interruzioni e la funzione è definita in tutti i punti x del dominio. Il limite di una funzione si calcola semplicemente sostituendo il valore x₀ alla x della funzione.

Esempi di Funzioni Continue:

• Funzione costante: y = k
• Funzioni polinomiali (di qualsiasi grado)
• Funzioni esponenziali: y = aˣ (incluso y = eˣ)
• Funzioni logaritmiche: y = log₁₀x
• Funzioni goniometriche: y = sen x e y = cos x
• Funzione radice quadrata: y = √x

Definizione e Calcolo dei Limiti

Limiti Infiniti per x che tende a x₀

Si scrive lim f(x) = ±∞ con x → x₀.

• Limite +∞: Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a; b], escluso al più il punto x₀ interno ad [a; b]. f(x) tende a +∞ per x che tende a x₀ quando, per ogni numero reale positivo M, si può determinare un intorno completo I di x₀ tale che f(x) > M per ogni x di I diverso da x₀.
• Limite -∞: Analogamente, f(x) tende a -∞ per x che tende a x₀ quando, per ogni numero reale positivo M, si può determinare un intorno completo I di x₀ tale che f(x) < -M per ogni x di I diverso da x₀.

Limiti al Finito per x che tende a Infinito

Per poter calcolare il limite di una funzione per x → +∞, il dominio della funzione deve contenere un intervallo illimitato a destra (superiormente), per considerare valori di x grandi a piacere.

• Limite finito (L): Una funzione f(x) tende al numero reale L per x → +∞ quando, per ogni ε > 0 fissato, si può determinare un intorno I di +∞.
• Limite per x → -∞: Ha una definizione del tutto analoga, considerando un intorno di -∞ invece di +∞.
• Limite infinito per x → +∞: Una funzione f(x) ha per limite +∞ per x → +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che f(x) > M per ogni x ∈ I.

Calcolare il limite di una funzione significa osservare come si comporta la funzione quando x si avvicina a un valore stabilito.

Limite Destro e Sinistro

Significa che la x tende a x₀ solo da destra (valori maggiori di x₀) oppure solo da sinistra (valori minori di x₀).

Asintoti di una Funzione

• Asintoto Verticale: Nel caso di limite infinito per x → x₀, si dice che la funzione ha un asintoto verticale dato dalla retta parallela all’asse Y di equazione x = x₀.
• Asintoto Orizzontale: È dato dalla retta y = L. L’asintoto può essere attraversato dalla funzione. Si verifica quando lim f(x) = L per x → ∞.

Operazioni con i Limiti e Forme Indeterminate

Calcolo del Limite di Funzioni Elementari

Per le funzioni formate da un solo tipo (potenza y = xᵐ, radice quadrata, esponenziale y = aˣ con a > 0, logaritmica), il limite si calcola sostituendo il valore di x₀ alla x, trattandosi di funzioni continue.

Operazioni e Forme Indeterminate

• Somma di funzioni: Si calcolano i due limiti e si sommano. Problema: (+∞) + (-∞) è una forma indeterminata.
• Prodotto di funzioni: Si esegue il prodotto dei limiti. Problema: 0 · ∞ è una forma indeterminata.
• Quoziente di funzioni: Si esegue il quoziente dei limiti. Problemi: ∞ / ∞ oppure 0 / 0 sono forme indeterminate.

Limiti Notevoli

I limiti notevoli sono limiti particolari che vanno studiati e ricordati perché restituiscono sempre lo stesso risultato. Nel calcolo dei limiti, se si incontra un limite notevole, è possibile scrivere direttamente il risultato finale.