Costruzioni Geometriche di Poligoni Regolari e Principi di Tangenza

Costruzione di Poligoni Regolari

Tracciare il triangolo equilatero conoscendo il suo lato

1. Disegna un segmento AB con il valore del lato dato.
2. Utilizzando successivamente come centro i vertici A e B, con un'apertura di compasso uguale ad AB, tracciamo due archi che determinano il punto C, il vertice opposto al lato AB.
3. Il perimetro del triangolo si ottiene unendo C con A e B.

Tracciare il quadrato conoscendo il suo lato

1. Il lato AB è il tratto dato.
2. Si traccia una linea perpendicolare su ciascuno dei vertici A e B utilizzando squadre e compasso.
3. Dalla punta A, disegnare una retta che formi un angolo di 45° rispetto al lato AB. Questa linea determina il punto C intersecando la perpendicolare tracciata in precedenza.
4. Semplicemente disegnando una parallela ad AB passante per C, si ottiene il quadrato.

Tracciare il pentagono conoscendo il suo lato

1. Il lato AB viene disegnato con il valore dato e si traccia il suo asse (bisettrice del segmento), ottenendo il punto P.
2. Si traccia una linea perpendicolare in B e, da questo punto, con raggio BA, si traccia un arco che determina il punto J sull'intersezione con la perpendicolare.
3. Con centro in P e raggio PJ, si disegna un arco che taglia il prolungamento di AB nel punto M.
4. Puntando in A con un'apertura AM, si disegna un arco che definisce il punto D sull'asse centrale.
5. Infine, si disegnano archi con centro in D, A e B, con raggio uguale al lato AB. Questi archi, intersecandosi tra loro, determinano i punti C ed E, i vertici del pentagono. Il pentagono si ottiene collegando i punti C, D ed E con gli estremi A e B.

Tracciare l'esagono regolare conoscendo il suo lato

L'esagono è l'unico poligono regolare in cui il lato è uguale al raggio del cerchio circoscritto. Questo facilita la costruzione, poiché se conosciamo il valore del lato o del raggio, possiamo sempre costruirlo nello stesso modo.

1. Disegna un cerchio di raggio r pari al lato AB e un diametro qualsiasi, AD.
2. Con centro in A e raggio AO, si descrive un arco che interseca la circonferenza nei punti B e F.
3. Allo stesso modo, con centro in D e raggio DO, si traccia un arco che taglia la circonferenza nei punti E e C.
4. Mettendo in relazione questi punti tra loro, otteniamo l'esagono.

Tracciato dell'ettagono regolare conoscendo il suo lato

1. Disegnare il lato AB e tracciare una perpendicolare a un'estremità, per esempio in B. Tracciare inoltre l'asse di questo lato.
2. All'estremità A, su AB, costruiamo un angolo di 30° (utilizzando una squadra a 30°), estendendo il lato fino a tagliare la perpendicolare tratta da B nel punto P.
3. Con centro in A e raggio AP, si descrive un arco per tagliare la perpendicolare.

Teoria e Pratica della Tangenza

Si dice che due figure sono tangenti se hanno un punto in comune, conosciuto come punto di contatto. Il connubio armonico tra linee curve e rette, o tra curve diverse, si chiama raccordo (link) e questo collegamento deve avvenire per contatto.

Le tangenze possono verificarsi tra cerchi, tra cerchi e rette, tra poligoni e linee, ecc. Tuttavia, le tangenze più comuni nel disegno geometrico sono quelle generate tra linee e cerchi e tra cerchi tra loro.

Proprietà di base delle tangenti

Per fissare i percorsi esatti delle tangenti, devono essere presi in considerazione i seguenti teoremi:

• Primo teorema: una linea è tangente a un cerchio quando ha un solo punto (M) in comune, e la linea è perpendicolare al raggio del cerchio in quel punto.
• Secondo teorema: un cerchio è tangente a due rette incidenti se il suo centro si trova sulla bisettrice dell'angolo formato dalle rette.
• Terzo teorema: due cerchi sono tangenti se hanno un punto in comune (N) allineato con i centri dei cerchi.

Costruzioni specifiche di tangenza

Tracciato di una tangente a un cerchio in un punto P sulla stessa

1. Si disegna il raggio che unisce il centro O e il punto P.
2. Si traccia attraverso il punto P la retta perpendicolare al raggio, che rappresenta la retta r tangente cercata.

Tracciato di tangenti da un punto P esterno alla circonferenza

1. Si unisce il punto P con il centro del cerchio O e si disegna l'asse del segmento OP, ottenendo il punto medio H.
2. Con centro in H e raggio HO, si disegna un arco che interseca il cerchio dato nei punti M e M', che sono i punti di contatto.
3. Le linee r e s sono le tangenti ottenute unendo il punto P con M e M'.

Disegno di un cerchio di raggio r noto e tangente a due linee convergenti

1. Disegna la bisettrice dell'angolo formato dalle rette.
2. Traccia una linea retta parallela a una delle linee date, distanziata da essa della misura del raggio r noto.
3. L'intersezione tra questa parallela e la bisettrice è il centro O del cerchio da tracciare.
4. I punti di tangenza sono M e M', ottenuti proiettando i raggi perpendicolari alle linee r e s.

Disegnare un cerchio che passa per P ed è tangente alla retta r in M

1. Poiché M e P devono essere punti sul cerchio, il centro deve trovarsi sull'asse del segmento MP.
2. Essendo il cerchio tangente alla retta r nel punto M, il centro O si troverà all'intersezione tra la perpendicolare alla retta r passante per M e l'asse del segmento MP.

Tracciato di tangenti esterne a due cerchi di raggi noti

1. Collegare i centri O e O' e trovare il punto medio H del segmento OO'.
2. Disegnare un cerchio ausiliario concentrico al più grande, con raggio uguale alla differenza tra i due raggi (R - r).
3. Con centro in H e raggio HO, tracciare un arco che tagli il cerchio ausiliario nei punti M e M'.
4. Unire il centro O con M e M' e prolungare fino a ottenere i punti U e V sulla circonferenza esterna.
5. Tracciare i raggi paralleli nel secondo cerchio per ottenere i punti S e T. Unendo U con S e V con T, si ottengono le tangenti.

Tracciato di tangenti interne a due cerchi di raggi noti

1. Collegare i centri O e O' e determinare il punto medio H.
2. Disegnare un cerchio ausiliario con centro in O e raggio pari alla somma dei raggi (R + r).
3. Tracciare un cerchio con centro in H e raggio HO, che interseca il cerchio ausiliario nei punti M e M'.
4. Unendo i punti M e M' con il centro O, si ottengono i punti di tangenza sulla circonferenza.

Tracciare un cerchio di raggio r tangente esternamente a un altro cerchio in un punto P

1. Si prolunga il raggio di O che contiene il punto P.
2. Si aggiunge la misura del raggio r a partire da P per ottenere il nuovo centro O'.
3. Infine, si traccia la circonferenza con centro in O' e raggio O'P.

Disegnare un cerchio tangente a un altro in un punto M e passante per un punto N

1. Dati i punti M e N, il centro del cerchio cercato si trova sull'asse del segmento MN.
2. Si unisce M con il centro O del cerchio dato; l'intersezione tra questo prolungamento e l'asse di MN determina il centro O' del nuovo cerchio.

Disegno di un cerchio di raggio r noto tangente a un altro cerchio e a una retta

1. Si traccia un arco con centro in O e raggio pari alla somma del raggio del cerchio dato e del raggio r noto.
2. Si traccia una linea parallela alla retta data, a una distanza pari al raggio r.
3. L'intersezione tra questa parallela e l'arco è il centro O' del cerchio cercato; i punti M e N sono i punti di contatto.