Decadimento Radioattivo e Relatività Ristretta: Dai Muoni all'Elettromagnetismo

La Legge del Decadimento Radioattivo

La probabilità di decadimento di un atomo è costante nel tempo; il numero di decadimenti nell’unità di tempo è quindi legato al numero di atomi presenti.

Definiamo la probabilità di decadimento come:

P_dec = λ   (con k nell’unità di tempo)

Se vogliamo calcolare i decadimenti nell’unità di tempo t:

dN / dt = λN

Di conseguenza, quando N è grande, la probabilità P coincide con la frequenza.

Determinazione della legge di decadimento nel tempo

Cerchiamo ora una legge che permetta di valutare quanti atomi saranno presenti al tempo t, noti λ e N₀ (numero di atomi iniziali).

dN / dt = - λN(t)

Questa è un’equazione differenziale. L’incognita che vogliamo trovare è una funzione che, derivata una volta rispetto al tempo, ritorni se stessa a meno di una costante.

Risolvendo l'equazione:

dN / dt = - λN(t)  →  N(t) = A · e^-Bt   dove B = λ

Per t = 0, sappiamo che N = N₀, quindi:

N(0) = A · e⁰ = N₀  →  A = N₀

Otteniamo così la formula:

N(t) = N₀ · e^-λt

Definiamo ora τ (tempo medio di vita): è il tempo che avrebbe impiegato il campione a decadere completamente se il tasso di variazione fosse rimasto costante e pari a quello presente al tempo t = 0.

La relazione tra la costante di decadimento e il tempo medio è:

λ = 1 / τ

Sostituendo, otteniamo la legge del decadimento radioattivo nella sua forma standard:

N(t) = N₀ · e^{-t / τ}

La Dilatazione dei Tempi: Il Caso dei Muoni

Le particelle utilizzate per dimostrare sperimentalmente le teorie di Einstein sulla relatività sono i muoni: particelle instabili create dall’interazione dei raggi cosmici con l’atmosfera terrestre che decadono secondo la legge precedentemente illustrata. Avendo una velocità V = 0,998 c, i muoni permettono di verificare con precisione la relazione einsteiniana circa la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Il raggio cosmico produce muoni nell'alta atmosfera; una parte di essi giunge sulla Terra. Vogliamo valutare il numero di particelle partenti rispetto a quelle arrivanti, sapendo che il numero di queste ultime sarà inferiore a causa del decadimento.

Calcolo secondo la Fisica Classica

Eseguiamo inizialmente il calcolo dei muoni arrivati a terra utilizzando le leggi della fisica classica, in cui si assume un tempo di arrivo t assoluto e valido per tutti i sistemi di riferimento.

• D (distanza) = 9 km
• N₀ (numero partenti) = N₀
• V (velocità) = 0.998 c
• τ (tempo medio di vita) = 2 μs = 2 · 10^-6 s

Il tempo di volo calcolato è:

Δt = d / V ≈ 3 · 10^-5 s

Rapportando il tempo di volo al tempo medio di vita:

Δt / τ = 15  →  N(t) = N₀ · e^-15

In pratica, la fisica classica prevede che il numero di muoni non decaduti rilevati a terra sia estremamente basso, quasi nullo.

Calcolo secondo la Fisica Relativistica

Con la fisica relativistica, invece, il tempo nel sistema di riferimento del muone (tempo proprio) sarà diverso da quello calcolato dall’osservatore sulla Terra a causa del fattore relativistico γ:

Δt' = Δt / γ = Δt · √(1 - V²/c²) = Δt / 15 = τ

Nel sistema di riferimento dei muoni il viaggio dura solo 1τ, mentre nel nostro sistema dura 15τ. Di conseguenza, secondo le previsioni relativistiche, arriverà a terra una quantità significativa di muoni non decaduti:

N(t') = N₀ · e^-1

Questo risultato teorico coincide perfettamente con i dati ottenuti sperimentalmente, confermando la teoria della relatività ristretta.

Elettromagnetismo e Relatività: Il Problema del Filo Carico

Vogliamo ora verificare come le teorie di Einstein sulla dilatazione dei tempi e la contrazione degli spazi risolvano alcune incongruenze della fisica classica pre-einsteiniana.

Analizziamo il problema di un filo uniformemente carico e di una carica di prova q₀.

I due sistemi di riferimento

Prima di Einstein si riteneva possibile determinare la velocità assoluta di un osservatore analizzando le forze in gioco:

• Sistema S (fermo rispetto a q₀ e al filo): in questo sistema ci si aspetta di misurare unicamente la forza elettrica (F_e).
• Sistema S' (in movimento rispetto a q₀ e al filo con velocità V): si presentano due interpretazioni classiche. Se si muove l'osservatore, si dovrebbe rilevare solo la forza elettrica; se invece si muove il filo, si dovrebbe generare anche un campo magnetico, portando a una forza totale pari a F_tot = F_e + F_m. Questo sembrava permettere l'identificazione di un moto assoluto.

Formulando matematicamente per i due sistemi:

Per il sistema S:

F_e = λq₀ / (2πεd)

Per il sistema S':

F' = λ / (2πεd) · (1 - v²/c²)  →  F_e + F_m = F_e / γ²

Poiché S ≠ S', la fisica classica deduceva erroneamente di poter stabilire un moto assoluto. La relatività di Einstein risolve questa apparente contraddizione dimostrando che le leggi dell'elettromagnetismo sono intrinsecamente relativistiche e covarianti in tutti i sistemi di riferimento inerziali.