Equivalenza delle sollecitazioni e asse centrale nel corpo rigido

Teorema della Somma di Coppie

La sollecitazione data da due coppie di momenti M e M' è equivalente ad una coppia, il cui momento è la somma vettoriale M'' = M + M' dei momenti delle due coppie.

Dimostrazione

Basta far vedere che esistono un vettore f ed un punto X tali che:

(A - X) ^ f = M'' ; (4.4)

per cui si ha una coppia C(f; A; X). Questo si può fare in infiniti modi; scelto infatti un qualunque vettore f che soddisfi la condizione di ortogonalità con il momento M'':

f · M'' = 0 ; (4.5)

il punto X soluzione della (4.4) è dato da:

X - A = (M'' ^ f) / f² ; (4.6)

come segue da:

(A - X) ^ f = - (M'' ^ f / f²) ^ f = (1/f²)(f · f)M'' - (1/f²)(M'' · f)f = M''

(dove si è utilizzata l'identità del doppio prodotto vettore (a ^ b) ^ c = -(b · c)a + (a · c)b con a = M'', b = c = f).

Condizione Caratteristica di Equivalenza

Torniamo ora alla equivalenza di sollecitazioni applicate al corpo rigido (c.r.): perché tale nozione sia operativamente efficace, è necessario avere un criterio che permetta di determinare agevolmente l'equivalenza. Consideriamo allora una sollecitazione S, di risultante R e di momento M_O, ed una seconda sollecitazione S', di risultante R' e momento M'_O: vale il seguente fondamentale risultato.

Teorema di Equivalenza

Due sollecitazioni S ed S' sono equivalenti se e solo se hanno ugual risultante ed ugual momento rispetto ad uno stesso punto.

Dimostrazione

Che l'uguaglianza di risultante e momento sia condizione necessaria di equivalenza è ovvio, poiché le operazioni invariantive di composizione e scorrimento non alterano risultante e momento (la somma di momenti di forze applicate nello stesso punto è il momento della somma delle forze; facendo scorrere una forza lungo la sua retta di applicazione il braccio della forza rimane invariato).

Che la condizione sia sufficiente segue essenzialmente dalle proprietà precedentemente dimostrate sul trasporto di una forza da un punto ad un altro e sulla somma di coppie di forze. Consideriamo la sollecitazione S; ogni forza (F_i; P_i) può essere trasformata in una forza (F_i; A), con A arbitrariamente scelto, aggiungendo una coppia di momento (P_i - A) ^ F_i. In tal modo, possiamo sostituire alla sollecitazione S la sollecitazione S̄ ~ S ottenuta sommando tutte le forze (F_i; A), di risultante R, e sommando tutte le coppie, ottenendo quindi:

M = Σ M_i = Σ (P_i - A) ^ F_i = M_A

Siamo quindi passati da S ad una sollecitazione equivalente S̄ data dalla forza (R; A) e dalla coppia di momento M.

Operando allo stesso modo sulla seconda sollecitazione S' otteniamo una sollecitazione equivalente S̄' ~ S', data da una forza (R'; A) e da una coppia di momento M'. Ma poiché per ipotesi è R = R' e M_A = M'_A, segue che S̄ ~ S̄', e per la proprietà transitiva è S ~ S'.

Analisi della Sollecitazione in base a R e M

In base al teorema ora dimostrato, una sollecitazione applicata al c.r. è completamente caratterizzata dai due vettori R e M, indipendentemente dal numero e dalle caratteristiche delle singole forze che contribuiscono alla sollecitazione complessiva. Una sollecitazione applicata al corpo rigido può quindi ridursi a quattro classi, in base alle proprietà del risultante e del momento.

• Le prime due corrispondono a sollecitazioni con R = 0.
• Le altre due a sollecitazioni con R ≠ 0.

I. Sollecitazione Nulla

È data da un sistema di forze con R = 0 e M = 0. Tale sollecitazione corrisponde all'assenza di forze; si dice anche che tale sollecitazione è equilibrata. Se esiste una configurazione in cui la sollecitazione applicata ad un c.r. verifica le equazioni cardinali della Statica (R = 0, M = 0), in tale configurazione la sollecitazione è equivalente all'assenza di forze; è allora naturale ammettere che se il c.r. è fermo in tale configurazione esso vi permanga indefinitamente, e quindi che tale configurazione sia di equilibrio.

Postulato: Le equazioni cardinali della Statica, che sono condizioni necessarie di equilibrio per ogni sistema meccanico, nel caso del c.r. sono anche condizioni sufficienti di equilibrio.

II. Sollecitazione Equivalente ad una Coppia

È un sistema con R = 0 e M ≠ 0. Il più semplice sistema con tali caratteristiche è proprio la coppia di forze. Si tratta di una sollecitazione particolarmente semplice da utilizzare, non dando contributo al risultante R e contribuendo al momento totale con un termine M che non dipende dal polo rispetto al quale il momento totale è calcolato.

III. Sollecitazione con R ≠ 0: L'Asse Centrale

Consideriamo infine il caso di sollecitazione con R ≠ 0; vale allora il seguente risultato.

Teorema dell'Asse Centrale

Se R ≠ 0, esiste un asse (detto asse centrale), di equazione:

P(λ) - A = (R ^ M_A) / R² + λR (4.7)

(essendo A un punto qualunque), rispetto ai cui punti il momento è dato da:

M_P(λ) = (I · R) / R² (4.8)

ed è quindi diretto come R, di modulo I/R ed uguale per tutti i punti dell'asse.